三角学示例

$\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$

解题步骤 1

将 $\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$ 。

$\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}}{\sqrt{7} + i \sqrt{21}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}{\sqrt{7} - i \sqrt{21}}$ 。

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{(\sqrt{7} + i \sqrt{21}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{{\sqrt{7}}^{2} - i \sqrt{147} + i \sqrt{147} - i^{2} {\sqrt{21}}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

$\frac{(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{28}$

解题步骤 2.4

约去 $7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}$ 和 $28$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.1

从 $(7 \sqrt{21} + 7 i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{28}$

解题步骤 2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.4.2.1

从 $28$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{7 (4)}$

解题步骤 2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{7 ((\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21}))}{7 \cdot 4}$

解题步骤 2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{(\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(\sqrt{21} + i \sqrt{7}) (\sqrt{7} - i \sqrt{21})$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{\sqrt{21} (\sqrt{7} - i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{\sqrt{21} \sqrt{7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} (\sqrt{7} - i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$\frac{\sqrt{21} \sqrt{7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{\sqrt{21 \cdot 7} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.2

将 $21$ 乘以 $7$ 。

$\frac{\sqrt{147} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.3

将 $147$ 重写为 $7^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

从 $147$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{\sqrt{49 (3)} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{7^{2} \cdot 3} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.4

从根式下提出各项。

$\frac{7 \sqrt{3} + \sqrt{21} (- i \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.5

乘以 $\sqrt{21} (- i \sqrt{21})$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{3} - i ({\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.5.2

对 $\sqrt{21}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{3} - i ({\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}) + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7 \sqrt{3} - i {\sqrt{21}}^{1 + 1} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7 \sqrt{3} - i {\sqrt{21}}^{2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.6

将 ${\sqrt{21}}^{2}$ 重写为 $21$ 。

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解题步骤 4.1.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{21}$ 重写成 $21^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - i {(21^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.6.4.1

约去公因数。

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.6.4.2

重写表达式。

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21^{1} + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.6.5

计算指数。

$\frac{7 \sqrt{3} - i \cdot 21 + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.7

将 $21$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \sqrt{7} \sqrt{7} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.8

乘以 $i \sqrt{7} \sqrt{7}$ 。

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解题步骤 4.1.8.1

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}) + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.8.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}) + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {\sqrt{7}}^{1 + 1} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {\sqrt{7}}^{2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.9

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.9.4.1

约去公因数。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.9.4.2

重写表达式。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7^{1} + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.9.5

计算指数。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + i \cdot 7 + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.10

将 $7$ 移到 $i$ 的左侧。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 \cdot i + i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.11

乘以 $i \sqrt{7} (- i \sqrt{21})$ 。

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解题步骤 4.1.11.1

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- (i^{1} i) \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.11.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.11.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- i^{1 + 1} \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.11.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7} (- i^{2} \sqrt{21})}{4}$

解题步骤 4.1.11.5

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - i^{2} \sqrt{7 \cdot 21}}{4}$

解题步骤 4.1.11.6

将 $7$ 乘以 $21$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - i^{2} \sqrt{147}}{4}$

解题步骤 4.1.12

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i - - 1 \sqrt{147}}{4}$

解题步骤 4.1.13

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + 1 \sqrt{147}}{4}$

解题步骤 4.1.14

将 $\sqrt{147}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{147}}{4}$

解题步骤 4.1.15

将 $147$ 重写为 $7^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.1.15.1

从 $147$ 中分解出因数 $49$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{49 (3)}}{4}$

解题步骤 4.1.15.2

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + \sqrt{7^{2} \cdot 3}}{4}$

解题步骤 4.1.16

从根式下提出各项。

$\frac{7 \sqrt{3} - 21 i + 7 i + 7 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.2

将 $7 \sqrt{3}$ 和 $7 \sqrt{3}$ 相加。

$\frac{- 21 i + 7 i + 14 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 4.3

将 $- 21 i$ 和 $7 i$ 相加。

$\frac{- 14 i + 14 \sqrt{3}}{4}$

解题步骤 5

将 $- 14 i$ 和 $14 \sqrt{3}$ 重新排序。

$\frac{14 \sqrt{3} - 14 i}{4}$

解题步骤 6

约去 $14 \sqrt{3} - 14 i$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从 $14 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (7 \sqrt{3}) - 14 i}{4}$

解题步骤 6.2

从 $- 14 i$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (7 \sqrt{3}) + 2 (- 7 i)}{4}$

解题步骤 6.3

从 $2 (7 \sqrt{3}) + 2 (- 7 i)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{4}$

解题步骤 6.4

约去公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{2 (2)}$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (7 \sqrt{3} - 7 i)}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.4.3

重写表达式。

$\frac{7 \sqrt{3} - 7 i}{2}$

三角学 示例

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