三角学示例

$(- \frac{5}{2}, - \frac{33}{4})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- \frac{5}{2}, - \frac{33}{4})$ 之间）之间的 $\sin (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- \frac{5}{2}, 0)$ 和 $(- \frac{5}{2}, - \frac{33}{4})$ 三点之间的三角形。

取反： $- \frac{33}{4}$

邻边： $- \frac{5}{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1

对 $- \frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} + {(- \frac{33}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $\frac{5}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{33}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{33}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{5^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{33}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{2^{2}} + {(- \frac{33}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{4} + {(- \frac{33}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.6.1

对 $- \frac{33}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{33}{4})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

对 $\frac{33}{4}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{25}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{33^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{4} + 1 \frac{33^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.8

将 $\frac{33^{2}}{4^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{25}{4} + \frac{33^{2}}{4^{2}}}$

解题步骤 2.9

对 $33$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{4} + \frac{1089}{4^{2}}}$

解题步骤 2.10

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{25}{4} + \frac{1089}{16}}$

解题步骤 2.11

要将 $\frac{25}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{25}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1089}{16}}$

解题步骤 2.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $16$ 的形式。

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解题步骤 2.12.1

将 $\frac{25}{4}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{1089}{16}}$

解题步骤 2.12.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 4}{16} + \frac{1089}{16}}$

解题步骤 2.13

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 4 + 1089}{16}}$

解题步骤 2.14

化简分子。

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解题步骤 2.14.1

将 $25$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{100 + 1089}{16}}$

解题步骤 2.14.2

将 $100$ 和 $1089$ 相加。

$\sqrt{\frac{1189}{16}}$

解题步骤 2.15

将 $\sqrt{\frac{1189}{16}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{16}}$ 。

$\frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{16}}$

解题步骤 2.16

化简分母。

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解题步骤 2.16.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{4^{2}}}$

解题步骤 2.16.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{1189}}{4}$

解题步骤 3

因为 $\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以 $\sin (θ) = \frac{- \frac{33}{4}}{\frac{\sqrt{1189}}{4}}$ 。

$\frac{- \frac{33}{4}}{\frac{\sqrt{1189}}{4}}$

解题步骤 4

化简 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (θ) = - \frac{33}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{1189}}$

解题步骤 4.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

将 $- \frac{33}{4}$ 中前置负号移到分子中。

$\sin (θ) = \frac{- 33}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{1189}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{- 33}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{1189}}$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\sin (θ) = - 33 \frac{1}{\sqrt{1189}}$

解题步骤 4.3

组合 $- 33$ 和 $\frac{1}{\sqrt{1189}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{- 33}{\sqrt{1189}}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{33}{\sqrt{1189}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{33}{\sqrt{1189}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{1189}}$ 。

$\sin (θ) = - (\frac{33}{\sqrt{1189}} \cdot \frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{1189}})$

解题步骤 4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{33}{\sqrt{1189}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{1189}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{\sqrt{1189} \sqrt{1189}}$

解题步骤 4.6.2

对 $\sqrt{1189}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{\sqrt{1189} \sqrt{1189}}$

解题步骤 4.6.3

对 $\sqrt{1189}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{\sqrt{1189} \sqrt{1189}}$

解题步骤 4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{{\sqrt{1189}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{{\sqrt{1189}}^{2}}$

解题步骤 4.6.6

将 ${\sqrt{1189}}^{2}$ 重写为 $1189$ 。

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解题步骤 4.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1189}$ 重写成 $1189^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{{(1189^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{1189^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{1189^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{1189^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{1189}$

解题步骤 4.6.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{1189}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = - \frac{33 \sqrt{1189}}{1189} \approx - 0.9570244$

三角学 示例

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