三角学示例

$(- \frac{1}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- \frac{1}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}})$ 之间）之间的 $\sin (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- \frac{1}{2}, 0)$ 和 $(- \frac{1}{2}, \sqrt{\frac{3}{2}})$ 三点之间的三角形。

取反： $\sqrt{\frac{3}{2}}$

邻边： $- \frac{1}{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\sqrt{\frac{3}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.6

将 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.8

合并和化简分母。

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解题步骤 2.8.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 2.8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.8.6.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}$

解题步骤 2.8.6.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{6}}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.10

化简项。

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解题步骤 2.10.1

对 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{6}}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.10.2

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 2.10.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.10.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.10.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.10.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.2.4.1

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.10.2.4.2

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6^{1}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.10.2.5

计算指数。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6}{2^{2}}}$

解题步骤 2.10.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{6}{4}}$

解题步骤 2.10.4

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2 (3)}{4}}$

解题步骤 2.10.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.10.4.2.2

约去公因数。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.10.4.2.3

重写表达式。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.11

要将 $\frac{3}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 2.12

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $4$ 的形式。

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解题步骤 2.12.1

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.12.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}}$

解题步骤 2.13

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{1 + 3 \cdot 2}{4}}$

解题步骤 2.14

化简分子。

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解题步骤 2.14.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sqrt{\frac{1 + 6}{4}}$

解题步骤 2.14.2

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$\sqrt{\frac{7}{4}}$

解题步骤 2.15

将 $\sqrt{\frac{7}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.16

化简分母。

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解题步骤 2.16.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.16.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{7}}{2}$

解题步骤 3

因为 $\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以 $\sin (θ) = \frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$

解题步骤 4

化简 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (θ) = \sqrt{\frac{3}{2}} (\frac{2}{\sqrt{7}})$

解题步骤 4.2

将 $\sqrt{\frac{3}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.4.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.5.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \sqrt{3} \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{7}})$

解题步骤 4.6

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (θ) = \sqrt{3 \cdot 2} (\frac{1}{\sqrt{7}})$

解题步骤 4.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sin (θ) = \sqrt{6} (\frac{1}{\sqrt{7}})$

解题步骤 4.8

组合 $\sqrt{6}$ 和 $\frac{1}{\sqrt{7}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.9

将 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

解题步骤 4.10

合并和化简分母。

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解题步骤 4.10.1

将 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 4.10.2

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 4.10.3

对 $\sqrt{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

解题步骤 4.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.10.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

解题步骤 4.10.6

将 ${\sqrt{7}}^{2}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 4.10.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.10.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.10.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.10.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.10.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 4.10.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6} \sqrt{7}}{7}$

解题步骤 4.11

化简分子。

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解题步骤 4.11.1

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{6 \cdot 7}}{7}$

解题步骤 4.11.2

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{42}}{7}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = \frac{\sqrt{42}}{7} \approx 0.92582009$

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