三角学示例

$(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$ 之间）之间的 $\sin (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(\frac{1}{2}, 0)$ 和 $(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{4}{9}$

邻边： $\frac{1}{2}$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

解题步骤 2.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

解题步骤 2.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

解题步骤 2.4

对 $\frac{4}{9}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4^{2}}{9^{2}}}$

解题步骤 2.5

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{9^{2}}}$

解题步骤 2.6

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{81}}$

解题步骤 2.7

要将 $\frac{1}{4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{81}{81}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{81}{81} + \frac{16}{81}}$

解题步骤 2.8

要将 $\frac{16}{81}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{81}{81} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 2.9

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $324$ 的形式。

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解题步骤 2.9.1

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{81}{81}$ 。

$\sqrt{\frac{81}{4 \cdot 81} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 2.9.2

将 $4$ 乘以 $81$ 。

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 2.9.3

将 $\frac{16}{81}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16 \cdot 4}{81 \cdot 4}}$

解题步骤 2.9.4

将 $81$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16 \cdot 4}{324}}$

解题步骤 2.10

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{81 + 16 \cdot 4}{324}}$

解题步骤 2.11

化简分子。

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解题步骤 2.11.1

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{81 + 64}{324}}$

解题步骤 2.11.2

将 $81$ 和 $64$ 相加。

$\sqrt{\frac{145}{324}}$

解题步骤 2.12

将 $\sqrt{\frac{145}{324}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{324}}$ 。

$\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{324}}$

解题步骤 2.13

化简分母。

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解题步骤 2.13.1

将 $324$ 重写为 $18^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{18^{2}}}$

解题步骤 2.13.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{145}}{18}$

解题步骤 3

因为 $\sin (θ) = \frac{取反}{斜边}$ ，所以 $\sin (θ) = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{\sqrt{145}}{18}}$ 。

$\frac{\frac{4}{9}}{\frac{\sqrt{145}}{18}}$

解题步骤 4

化简 $\sin (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{18}{\sqrt{145}}$

解题步骤 4.2

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $18$ 中分解出因数 $9$ 。

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9 (2)}{\sqrt{145}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{145}}$

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\sin (θ) = 4 (\frac{2}{\sqrt{145}})$

解题步骤 4.3

组合 $4$ 和 $\frac{2}{\sqrt{145}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{145}}$

解题步骤 4.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{145}}$

解题步骤 4.5

将 $\frac{8}{\sqrt{145}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{145}} \cdot \frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$

解题步骤 4.6

合并和化简分母。

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解题步骤 4.6.1

将 $\frac{8}{\sqrt{145}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

解题步骤 4.6.2

对 $\sqrt{145}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

解题步骤 4.6.3

对 $\sqrt{145}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

解题步骤 4.6.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{\sqrt{145}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.6.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{\sqrt{145}}^{2}}$

解题步骤 4.6.6

将 ${\sqrt{145}}^{2}$ 重写为 $145$ 。

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解题步骤 4.6.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{145}$ 重写成 $145^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{(145^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.6.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.6.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.6.4.1

约去公因数。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.6.6.4.2

重写表达式。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145}$

解题步骤 4.6.6.5

计算指数。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145}$

解题步骤 5

求近似值。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145} \approx 0.66436383$

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