三角学示例

$c = 9$ , $b = 14$ , $C = 19$

解题步骤 1

正弦定理不能得到一个确定的角。这表示有 $2$ 个角能够满足方程。对于第一个三角形，请使用第一个可能的角度值。

求解第一个三角形。

解题步骤 2

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 3

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (19)}{9}$

解题步骤 4

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 4.1

等式两边同时乘以 $14$ 。

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

约去 $14$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.1

约去公因数。

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

解题步骤 4.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $14 \frac{\sin (19)}{9}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

计算 $\sin (19)$ 。

$\sin (B) = 14 (\frac{0.32556815}{9})$

解题步骤 4.2.2.1.2

用 $0.32556815$ 除以 $9$ 。

$\sin (B) = 14 \cdot 0.03617423$

解题步骤 4.2.2.1.3

将 $14$ 乘以 $0.03617423$ 。

$\sin (B) = 0.50643935$

解题步骤 4.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $B$ 。

$B = \arcsin (0.50643935)$

解题步骤 4.4

化简右边。

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解题步骤 4.4.1

计算 $\arcsin (0.50643935)$ 。

$B = 30.4269464$

解题步骤 4.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 30.4269464$

解题步骤 4.6

从 $180$ 中减去 $30.4269464$ 。

$B = 149.57305359$

解题步骤 4.7

方程 $B = 30.4269464$ 的解。

$B = 30.4269464, 149.57305359$

解题步骤 5

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 19 + 30.4269464 = 180$

解题步骤 6

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 6.1

将 $19$ 和 $30.4269464$ 相加。

$A + 49.4269464 = 180$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $49.4269464$ 。

$A = 180 - 49.4269464$

解题步骤 6.2.2

从 $180$ 中减去 $49.4269464$ 。

$A = 130.57305359$

解题步骤 7

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 8

求解方程。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

解题步骤 9

将已知值代入方程中。

$a = \sqrt{{(14)}^{2} + {(9)}^{2} - 2 \cdot 14 \cdot 9 \cos (130.57305359)}$

解题步骤 10

化简结果。

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解题步骤 10.1

对 $14$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{196 + {(9)}^{2} - 2 \cdot 14 \cdot (9 \cos (130.57305359))}$

解题步骤 10.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{196 + 81 - 2 \cdot 14 \cdot (9 \cos (130.57305359))}$

解题步骤 10.3

乘以 $- 2 \cdot 14 \cdot 9$ 。

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解题步骤 10.3.1

将 $- 2$ 乘以 $14$ 。

$a = \sqrt{196 + 81 - 28 \cdot (9 \cos (130.57305359))}$

解题步骤 10.3.2

将 $- 28$ 乘以 $9$ 。

$a = \sqrt{196 + 81 - 252 \cos (130.57305359)}$

解题步骤 10.4

将 $196$ 和 $81$ 相加。

$a = \sqrt{277 - 252 \cos (130.57305359)}$

解题步骤 11

对于第二个三角形，使用第二个可能的角度值。

求解第二个三角形。

解题步骤 12

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 13

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{14} = \frac{\sin (19)}{9}$

解题步骤 14

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 14.1

等式两边同时乘以 $14$ 。

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

解题步骤 14.2

化简方程的两边。

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解题步骤 14.2.1

化简左边。

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解题步骤 14.2.1.1

约去 $14$ 的公因数。

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解题步骤 14.2.1.1.1

约去公因数。

$14 \frac{\sin (B)}{14} = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

解题步骤 14.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (B) = 14 \frac{\sin (19)}{9}$

解题步骤 14.2.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.2.1

化简 $14 \frac{\sin (19)}{9}$ 。

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解题步骤 14.2.2.1.1

计算 $\sin (19)$ 。

$\sin (B) = 14 (\frac{0.32556815}{9})$

解题步骤 14.2.2.1.2

用 $0.32556815$ 除以 $9$ 。

$\sin (B) = 14 \cdot 0.03617423$

解题步骤 14.2.2.1.3

将 $14$ 乘以 $0.03617423$ 。

$\sin (B) = 0.50643935$

解题步骤 14.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $B$ 。

$B = \arcsin (0.50643935)$

解题步骤 14.4

化简右边。

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解题步骤 14.4.1

计算 $\arcsin (0.50643935)$ 。

$B = 30.4269464$

解题步骤 14.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 30.4269464$

解题步骤 14.6

从 $180$ 中减去 $30.4269464$ 。

$B = 149.57305359$

解题步骤 14.7

方程 $B = 30.4269464$ 的解。

$B = 30.4269464, 149.57305359$

解题步骤 15

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 19 + 149.57305359 = 180$

解题步骤 16

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 16.1

将 $19$ 和 $149.57305359$ 相加。

$A + 168.57305359 = 180$

解题步骤 16.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 16.2.1

从等式两边同时减去 $168.57305359$ 。

$A = 180 - 168.57305359$

解题步骤 16.2.2

从 $180$ 中减去 $168.57305359$ 。

$A = 11.4269464$

解题步骤 17

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 18

将已知值代入正弦定理以求 $a$ 。

$\frac{\sin (11.4269464)}{a} = \frac{\sin (149.57305359)}{14}$

解题步骤 19

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 19.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 19.1.1

计算 $\sin (11.4269464)$ 。

$\frac{0.19811834}{a} = \frac{\sin (149.57305359)}{14}$

解题步骤 19.1.2

计算 $\sin (149.57305359)$ 。

$\frac{0.19811834}{a} = \frac{0.50643935}{14}$

解题步骤 19.1.3

用 $0.50643935$ 除以 $14$ 。

$\frac{0.19811834}{a} = 0.03617423$

解题步骤 19.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 19.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$a, 1$

解题步骤 19.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$a$

解题步骤 19.3

将 $\frac{0.19811834}{a} = 0.03617423$ 中的每一项乘以 $a$ 以消去分数。

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解题步骤 19.3.1

将 $\frac{0.19811834}{a} = 0.03617423$ 中的每一项乘以 $a$ 。

$\frac{0.19811834}{a} a = 0.03617423 a$

解题步骤 19.3.2

化简左边。

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解题步骤 19.3.2.1

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 19.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.19811834}{a} a = 0.03617423 a$

解题步骤 19.3.2.1.2

重写表达式。

$0.19811834 = 0.03617423 a$

解题步骤 19.4

求解方程。

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解题步骤 19.4.1

将方程重写为 $0.03617423 a = 0.19811834$ 。

$0.03617423 a = 0.19811834$

解题步骤 19.4.2

将 $0.03617423 a = 0.19811834$ 中的每一项除以 $0.03617423$ 并化简。

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解题步骤 19.4.2.1

将 $0.03617423 a = 0.19811834$ 中的每一项都除以 $0.03617423$ 。

$\frac{0.03617423 a}{0.03617423} = \frac{0.19811834}{0.03617423}$

解题步骤 19.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 19.4.2.2.1

约去 $0.03617423$ 的公因数。

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解题步骤 19.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.03617423 a}{0.03617423} = \frac{0.19811834}{0.03617423}$

解题步骤 19.4.2.2.1.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{0.19811834}{0.03617423}$

解题步骤 19.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 19.4.2.3.1

用 $0.19811834$ 除以 $0.03617423$ 。

$a = 5.47677979$

解题步骤 20

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

第一个三角形组合：

$A = 130.57305359$

$B = 30.4269464$

$C = 19$

$a = \sqrt{277 - 252 \cos (130.57305359)}$

$b = 14$

$c = 9$

第二个三角形组合：

$A = 11.4269464$

$B = 149.57305359$

$C = 19$

$a = 5.47677979$

$b = 14$

$c = 9$

三角学 示例

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