三角学示例

$C = 64.41$ , $B = 54.23$ , $c = 12.75 m$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求 $b$ 。

$\frac{\sin (54.23)}{b} = \frac{\sin (64.41)}{12.75 m}$

解题步骤 3

求解 $b$ 的方程。

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解题步骤 3.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 3.1.1

计算 $\sin (54.23)$ 。

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{\sin (64.41)}{12.75 m}$

解题步骤 3.1.2

计算 $\sin (64.41)$ 。

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792}{12.75 m}$

解题步骤 3.1.3

从 $0.90190792$ 中分解出因数 $0.90190792$ 。

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792 (1)}{12.75 m}$

解题步骤 3.1.4

从 $12.75 m$ 中分解出因数 $12.75$ 。

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792 (1)}{12.75 (m)}$

解题步骤 3.1.5

分离分数。

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.90190792}{12.75} \cdot \frac{1}{m}$

解题步骤 3.1.6

用 $0.90190792$ 除以 $12.75$ 。

$\frac{0.81136999}{b} = 0.07073787 \frac{1}{m}$

解题步骤 3.1.7

组合 $0.07073787$ 和 $\frac{1}{m}$ 。

$\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$b, m$

解题步骤 3.2.2

Since $b, m$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $b^{1}, m^{1}$ .

解题步骤 3.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 3.2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 3.2.5

$1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 3.2.6

$b^{1}$ 的因式是 $b$ 本身。

$b^{1} = b$

$b$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.2.7

$m^{1}$ 的因式是 $m$ 本身。

$m^{1} = m$

$m$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 3.2.8

$b^{1}, m^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$b \cdot m$

解题步骤 3.2.9

将 $b$ 乘以 $m$ 。

$b m$

解题步骤 3.3

将 $\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$ 中的每一项乘以 $b m$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{0.81136999}{b} = \frac{0.07073787}{m}$ 中的每一项乘以 $b m$ 。

$\frac{0.81136999}{b} (b m) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $b$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

从 $b m$ 中分解出因数 $b$ 。

$\frac{0.81136999}{b} (b (m)) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去公因数。

$\frac{0.81136999}{b} (b m) = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

解题步骤 3.3.2.1.3

重写表达式。

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (b m)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

约去 $m$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.1.1

从 $b m$ 中分解出因数 $m$ 。

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (m b)$

解题步骤 3.3.3.1.2

约去公因数。

$0.81136999 m = \frac{0.07073787}{m} (m b)$

解题步骤 3.3.3.1.3

重写表达式。

$0.81136999 m = 0.07073787 b$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $0.07073787 b = 0.81136999 m$ 。

$0.07073787 b = 0.81136999 m$

解题步骤 3.4.2

将 $0.07073787 b = 0.81136999 m$ 中的每一项除以 $0.07073787$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $0.07073787 b = 0.81136999 m$ 中的每一项都除以 $0.07073787$ 。

$\frac{0.07073787 b}{0.07073787} = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $0.07073787$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.07073787 b}{0.07073787} = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $b$ 除以 $1$ 。

$b = \frac{0.81136999 m}{0.07073787}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

从 $0.81136999 m$ 中分解出因数 $0.81136999$ 。

$b = \frac{0.81136999 (m)}{0.07073787}$

解题步骤 3.4.2.3.2

从 $0.07073787$ 中分解出因数 $0.07073787$ 。

$b = \frac{0.81136999 (m)}{0.07073787 (1)}$

解题步骤 3.4.2.3.3

分离分数。

$b = \frac{0.81136999}{0.07073787} \cdot \frac{m}{1}$

解题步骤 3.4.2.3.4

用 $0.81136999$ 除以 $0.07073787$ 。

$b = 11.47009255 \frac{m}{1}$

解题步骤 3.4.2.3.5

用 $m$ 除以 $1$ 。

$b = 11.47009255 m$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 64.41 + 54.23 = 180$

解题步骤 5

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $64.41$ 和 $54.23$ 相加。

$A + 118.64 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $118.64$ 。

$A = 180 - 118.64$

解题步骤 5.2.2

从 $180$ 中减去 $118.64$ 。

$A = 61.36$

解题步骤 6

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 7

求解方程。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

解题步骤 8

将已知值代入方程中。

$a = \sqrt{{(11.47009255 m)}^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

解题步骤 9

化简结果。

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解题步骤 9.1

对 $11.47009255 m$ 运用乘积法则。

$a = \sqrt{{11.47009255}^{2} m^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

解题步骤 9.2

对 $11.47009255$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + {(12.75 m)}^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

解题步骤 9.3

对 $12.75 m$ 运用乘积法则。

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + {12.75}^{2} m^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

解题步骤 9.4

对 $12.75$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 m) (12.75 m) \cos (61.36)}$

解题步骤 9.5

通过指数相加将 $m$ 乘以 $m$ 。

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解题步骤 9.5.1

移动 $m$ 。

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 (m \cdot m)) \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

解题步骤 9.5.2

将 $m$ 乘以 $m$ 。

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 2 (11.47009255 m^{2}) \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

解题步骤 9.6

乘。

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解题步骤 9.6.1

将 $11.47009255$ 乘以 $- 2$ 。

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 22.9401851 m^{2} \cdot (12.75 \cos (61.36))}$

解题步骤 9.6.2

将 $12.75$ 乘以 $- 22.9401851$ 。

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 292.48736011 m^{2} \cos (61.36)}$

解题步骤 9.7

将 $\cos (61.36)$ 乘以 $- 292.48736011$ 。

$a = \sqrt{131.56302318 m^{2} + 162.5625 m^{2} - 140.19056316 m^{2}}$

解题步骤 9.8

将 $131.56302318 m^{2}$ 和 $162.5625 m^{2}$ 相加。

$a = \sqrt{294.12552318 m^{2} - 140.19056316 m^{2}}$

解题步骤 9.9

从 $294.12552318 m^{2}$ 中减去 $140.19056316 m^{2}$ 。

$a = \sqrt{153.93496001 m^{2}}$

解题步骤 9.10

将 $153.93496001 m^{2}$ 重写为 ${(12.40705283 m)}^{2}$ 。

$a = \sqrt{{(12.40705283 m)}^{2}}$

解题步骤 9.11

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = 12.40705283 m$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 61.36$

$B = 54.23$

$C = 64.41$

$a = 12.40705283 m$

$b = 11.47009255 m$

$c = 12.75 m$

三角学 示例

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