三角学示例

$B = 30$ , $a = 80$ , $c = 70$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

解题步骤 2

求解方程。

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$b = \sqrt{{(80)}^{2} + {(70)}^{2} - 2 \cdot 80 \cdot 70 \cos (30)}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

对 $80$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \sqrt{6400 + {(70)}^{2} - 2 \cdot 80 \cdot (70 \cos (30))}$

解题步骤 4.2

对 $70$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \sqrt{6400 + 4900 - 2 \cdot 80 \cdot (70 \cos (30))}$

解题步骤 4.3

乘以 $- 2 \cdot 80 \cdot 70$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $80$ 。

$b = \sqrt{6400 + 4900 - 160 \cdot (70 \cos (30))}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 160$ 乘以 $70$ 。

$b = \sqrt{6400 + 4900 - 11200 \cos (30)}$

解题步骤 4.4

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$b = \sqrt{6400 + 4900 - 11200 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

从 $- 11200$ 中分解出因数 $2$ 。

$b = \sqrt{6400 + 4900 + 2 (- 5600) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

$b = \sqrt{6400 + 4900 + 2 \cdot (- 5600 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 4.5.3

重写表达式。

$b = \sqrt{6400 + 4900 - 5600 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.6

将 $6400$ 和 $4900$ 相加。

$b = \sqrt{11300 - 5600 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7

将 $11300 - 5600 \sqrt{3}$ 重写为 $10^{2} (113 - 56 \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 4.7.1

从 $11300$ 中分解出因数 $100$ 。

$b = \sqrt{100 (113) - 5600 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.2

从 $- 5600 \sqrt{3}$ 中分解出因数 $100$ 。

$b = \sqrt{100 (113) + 100 (- 56 \sqrt{3})}$

解题步骤 4.7.3

从 $100 (113) + 100 (- 56 \sqrt{3})$ 中分解出因数 $100$ 。

$b = \sqrt{100 (113 - 56 \sqrt{3})}$

解题步骤 4.7.4

将 $100$ 重写为 $10^{2}$ 。

$b = \sqrt{10^{2} (113 - 56 \sqrt{3})}$

解题步骤 4.8

从根式下提出各项。

$b = 10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求 $A$ 。

$\frac{\sin (A)}{80} = \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $80$ 。

$80 \frac{\sin (A)}{80} = 80 \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $80$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$80 \frac{\sin (A)}{80} = 80 \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 80 \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $80 \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.1.1

从 $80$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sin (A) = 10 (8) \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.1.2

从 $10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ 中分解出因数 $10$ 。

$\sin (A) = 10 (8) \frac{\sin (30)}{10 (\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

解题步骤 7.2.2.1.1.3

约去公因数。

$\sin (A) = 10 \cdot 8 \frac{\sin (30)}{10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.1.4

重写表达式。

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

组合 $8$ 和 $\frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ 。

$\sin (A) = \frac{8 \sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.3

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (A) = \frac{8 (\frac{1}{2})}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.4

组合 $8$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (A) = \frac{\frac{8}{2}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.5

用 $8$ 除以 $2$ 。

$\sin (A) = \frac{4}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (\frac{4}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}})$

解题步骤 7.4

化简右边。

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解题步骤 7.4.1

计算 $\arcsin (\frac{4}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}})$ 。

$A = 88.97169744$

解题步骤 7.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 88.97169744$

解题步骤 7.6

从 $180$ 中减去 $88.97169744$ 。

$A = 91.02830255$

解题步骤 7.7

方程 $A = 88.97169744$ 的解。

$A = 88.97169744, 91.02830255$

解题步骤 8

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$88.97169744 + C + 30 = 180$

解题步骤 9

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 9.1

将 $88.97169744$ 和 $30$ 相加。

$C + 118.97169744 = 180$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $118.97169744$ 。

$C = 180 - 118.97169744$

解题步骤 9.2.2

从 $180$ 中减去 $118.97169744$ 。

$C = 61.02830255$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 88.97169744$

$B = 30$

$C = 61.02830255$

$a = 80$

$b = 10 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

$c = 70$

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