三角学示例

$C = 145$ , $b = 7$ , $c = 33$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{7} = \frac{\sin (145)}{33}$

解题步骤 3

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $7$ 。

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (145)}{33}$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

约去公因数。

$7 \frac{\sin (B)}{7} = 7 \frac{\sin (145)}{33}$

解题步骤 3.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (B) = 7 \frac{\sin (145)}{33}$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $7 \frac{\sin (145)}{33}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

计算 $\sin (145)$ 。

$\sin (B) = 7 (\frac{0.57357643}{33})$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $0.57357643$ 除以 $33$ 。

$\sin (B) = 7 \cdot 0.0173811$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $7$ 乘以 $0.0173811$ 。

$\sin (B) = 0.12166772$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $B$ 。

$B = \arcsin (0.12166772)$

解题步骤 3.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.1

计算 $\arcsin (0.12166772)$ 。

$B = 6.98836173$

解题步骤 3.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 6.98836173$

解题步骤 3.6

从 $180$ 中减去 $6.98836173$ 。

$B = 173.01163826$

解题步骤 3.7

方程 $B = 6.98836173$ 的解。

$B = 6.98836173, 173.01163826$

解题步骤 3.8

排除无效角。

$B = 6.98836173$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 145 + 6.98836173 = 180$

解题步骤 5

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $145$ 和 $6.98836173$ 相加。

$A + 151.98836173 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $151.98836173$ 。

$A = 180 - 151.98836173$

解题步骤 5.2.2

从 $180$ 中减去 $151.98836173$ 。

$A = 28.01163826$

解题步骤 6

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 7

求解方程。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

解题步骤 8

将已知值代入方程中。

$a = \sqrt{{(7)}^{2} + {(33)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 33 \cos (28.01163826)}$

解题步骤 9

化简结果。

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解题步骤 9.1

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{49 + {(33)}^{2} - 2 \cdot 7 \cdot (33 \cos (28.01163826))}$

解题步骤 9.2

对 $33$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{49 + 1089 - 2 \cdot 7 \cdot (33 \cos (28.01163826))}$

解题步骤 9.3

乘以 $- 2 \cdot 7 \cdot 33$ 。

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解题步骤 9.3.1

将 $- 2$ 乘以 $7$ 。

$a = \sqrt{49 + 1089 - 14 \cdot (33 \cos (28.01163826))}$

解题步骤 9.3.2

将 $- 14$ 乘以 $33$ 。

$a = \sqrt{49 + 1089 - 462 \cos (28.01163826)}$

解题步骤 9.4

将 $49$ 和 $1089$ 相加。

$a = \sqrt{1138 - 462 \cos (28.01163826)}$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 28.01163826$

$B = 6.98836173$

$C = 145$

$a = \sqrt{1138 - 462 \cos (28.01163826)}$

$b = 7$

$c = 33$

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