三角学示例

$C = 127.5$ , $a = 6$ , $b = 10.74$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

解题步骤 2

求解方程。

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$c = \sqrt{{(6)}^{2} + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10.74 \cos (127.5)}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{36 + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

解题步骤 4.2

对 $10.74$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

解题步骤 4.3

乘以 $- 2 \cdot 6 \cdot 10.74$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 12 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 12$ 乘以 $10.74$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (127.5)}$

解题步骤 4.4

$\cos (127.5)$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $127.5$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (\frac{255}{2})}$

解题步骤 4.4.2

使用余弦半角公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

解题步骤 4.4.3

由于余弦在第二象限中为负，所以将 $\pm$ 变为 $-$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

解题步骤 4.4.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.4.1

$\cos (255)$ 的准确值为 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ 。

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解题步骤 4.4.4.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (30 + 45)}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.3

使用两角和的公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.4

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.6

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45))}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.8

化简 $- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ 。

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解题步骤 4.4.4.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.4.1.8.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.4.4.1.8.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.8.1.1.2

使用根数乘积法则进行合并。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.8.1.1.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.8.1.1.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.8.1.2

乘以 $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 4.4.4.1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.8.1.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.1.8.2

在公分母上合并分子。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.3

在公分母上合并分子。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$ 。

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解题步骤 4.4.4.4.1

运用分配律。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.4.2

乘以 $- - \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 4.4.4.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.4.2.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.5

将分子乘以分母的倒数。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.4.4.6

乘以 $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 4.4.4.6.1

将 $\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}})}$

解题步骤 4.4.4.6.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}})}$

解题步骤 4.4.4.7

将 $\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}})}$

解题步骤 4.4.4.8

化简分母。

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解题步骤 4.4.4.8.1

将 $8$ 重写为 $2^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.4.4.8.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}})}$

解题步骤 4.4.4.8.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})}$

解题步骤 4.4.4.8.2

从根式下提出各项。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}})}$

解题步骤 4.4.4.9

将 $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- (\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}$

解题步骤 4.4.4.10

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.4.10.1

将 $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}$

解题步骤 4.4.4.10.2

移动 $\sqrt{2}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

解题步骤 4.4.4.10.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

解题步骤 4.4.4.10.4

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

解题步骤 4.4.4.10.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}$

解题步骤 4.4.4.10.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}$

解题步骤 4.4.4.10.7

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 4.4.4.10.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

解题步骤 4.4.4.10.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

解题步骤 4.4.4.10.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

解题步骤 4.4.4.10.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.4.10.7.4.1

约去公因数。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

解题步骤 4.4.4.10.7.4.2

重写表达式。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

解题步骤 4.4.4.10.7.5

计算指数。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

解题步骤 4.4.4.11

使用根数乘积法则进行合并。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2})}$

解题步骤 4.4.4.12

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

解题步骤 4.5

乘以 $- 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 128.88$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 128.88 (\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

解题步骤 4.5.2

组合 $128.88$ 和 $\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{128.88 \sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}}$

解题步骤 4.5.3

将 $128.88$ 乘以 $\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{313.82869188}{4}}$

解题步骤 4.6

用 $313.82869188$ 除以 $4$ 。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 78.45717297}$

解题步骤 4.7

将 $36$ 和 $115.3476$ 相加。

$c = \sqrt{151.3476 + 78.45717297}$

解题步骤 4.8

将 $151.3476$ 和 $78.45717297$ 相加。

$c = \sqrt{229.80477297}$

解题步骤 4.9

计算根。

$c = 15.15931307$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求 $A$ 。

$\frac{\sin (A)}{6} = \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

解题步骤 7

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $6$ 。

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

计算 $\sin (127.5)$ 。

$\sin (A) = 6 (\frac{0.79335334}{15.15931307})$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $0.79335334$ 除以 $15.15931307$ 。

$\sin (A) = 6 \cdot 0.05233438$

解题步骤 7.2.2.1.3

将 $6$ 乘以 $0.05233438$ 。

$\sin (A) = 0.31400631$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (0.31400631)$

解题步骤 7.4

化简右边。

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解题步骤 7.4.1

计算 $\arcsin (0.31400631)$ 。

$A = 18.30083638$

解题步骤 7.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 18.30083638$

解题步骤 7.6

从 $180$ 中减去 $18.30083638$ 。

$A = 161.69916361$

解题步骤 7.7

方程 $A = 18.30083638$ 的解。

$A = 18.30083638, 161.69916361$

解题步骤 7.8

排除无效角。

$A = 18.30083638$

解题步骤 8

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$18.30083638 + 127.5 + B = 180$

解题步骤 9

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 9.1

将 $18.30083638$ 和 $127.5$ 相加。

$145.80083638 + B = 180$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $145.80083638$ 。

$B = 180 - 145.80083638$

解题步骤 9.2.2

从 $180$ 中减去 $145.80083638$ 。

$B = 34.19916361$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 18.30083638$

$B = 34.19916361$

$C = 127.5$

$a = 6$

$b = 10.74$

$c = 15.15931307$

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