三角学示例

$C = 30$ , $a = 32$ , $c = 16$

解题步骤 1

正弦定理不能得到一个确定的角。这表示有 $2$ 个角能够满足方程。对于第一个三角形，请使用第一个可能的角度值。

求解第一个三角形。

解题步骤 2

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 3

将已知值代入正弦定理以求 $A$ 。

$\frac{\sin (A)}{32} = \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 4

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 4.1

等式两边同时乘以 $32$ 。

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 4.2.1

化简左边。

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解题步骤 4.2.1.1

约去 $32$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.1

约去公因数。

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 4.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简 $32 \frac{\sin (30)}{16}$ 。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$\sin (A) = 16 (2) \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

约去公因数。

$\sin (A) = 16 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 4.2.2.1.1.3

重写表达式。

$\sin (A) = 2 \sin (30)$

解题步骤 4.2.2.1.2

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.3.1

约去公因数。

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.2.1.3.2

重写表达式。

$\sin (A) = 1$

解题步骤 4.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (1)$

解题步骤 4.4

化简右边。

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解题步骤 4.4.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $90$ 。

$A = 90$

解题步骤 4.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 90$

解题步骤 4.6

从 $180$ 中减去 $90$ 。

$A = 90$

解题步骤 4.7

方程 $A = 90$ 的解。

$A = 90, 90$

解题步骤 5

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$90 + 30 + B = 180$

解题步骤 6

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 6.1

将 $90$ 和 $30$ 相加。

$120 + B = 180$

解题步骤 6.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $120$ 。

$B = 180 - 120$

解题步骤 6.2.2

从 $180$ 中减去 $120$ 。

$B = 60$

解题步骤 7

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 8

将已知值代入正弦定理以求 $b$ 。

$\frac{\sin (60)}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

解题步骤 9

求解 $b$ 的方程。

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解题步骤 9.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 9.1.1

$\sin (60)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

解题步骤 9.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

解题步骤 9.1.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{b}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (90)}{32}$

解题步骤 9.1.4

$\sin (90)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$

解题步骤 9.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 9.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 b, 32$

解题步骤 9.2.2

Since $2 b, 32$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 32$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

解题步骤 9.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 9.2.4

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 9.2.5

$32$ 的质因数是 $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 9.2.5.1

$32$ 具有因式 $2$ 和 $16$ 。

$2 \cdot 16$

解题步骤 9.2.5.2

$16$ 具有因式 $2$ 和 $8$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 8$

解题步骤 9.2.5.3

$8$ 具有因式 $2$ 和 $4$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

解题步骤 9.2.5.4

$4$ 具有因式 $2$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

解题步骤 9.2.6

乘以 $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 9.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

解题步骤 9.2.6.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 \cdot 2 \cdot 2$

解题步骤 9.2.6.3

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$16 \cdot 2$

解题步骤 9.2.6.4

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$32$

解题步骤 9.2.7

$b^{1}$ 的因式是 $b$ 本身。

$b^{1} = b$

$b$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 9.2.8

$b^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$b$

解题步骤 9.2.9

$2 b, 32$ 的最小公倍数为数字部分 $32$ 乘以变量部分。

$32 b$

解题步骤 9.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ 中的每一项乘以 $32 b$ 以消去分数。

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解题步骤 9.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ 中的每一项乘以 $32 b$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (32 b) = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 9.3.2

化简左边。

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解题步骤 9.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$32 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 9.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 9.3.2.2.2

从 $2 b$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 9.3.2.2.3

约去公因数。

$2 \cdot 16 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 9.3.2.2.4

重写表达式。

$16 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 9.3.2.3

组合 $16$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{b}$ 。

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 9.3.2.4

约去 $b$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 9.3.2.4.2

重写表达式。

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 9.3.3

化简右边。

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解题步骤 9.3.3.1

约去 $32$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1.1

从 $32 b$ 中分解出因数 $32$ 。

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 (b))$

解题步骤 9.3.3.1.2

约去公因数。

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 9.3.3.1.3

重写表达式。

$16 \sqrt{3} = b$

解题步骤 9.4

将方程重写为 $b = 16 \sqrt{3}$ 。

$b = 16 \sqrt{3}$

解题步骤 10

对于第二个三角形，使用第二个可能的角度值。

求解第二个三角形。

解题步骤 11

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 12

将已知值代入正弦定理以求 $A$ 。

$\frac{\sin (A)}{32} = \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 13

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 13.1

等式两边同时乘以 $32$ 。

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 13.2

化简方程的两边。

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解题步骤 13.2.1

化简左边。

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解题步骤 13.2.1.1

约去 $32$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.1.1

约去公因数。

$32 \frac{\sin (A)}{32} = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 13.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 32 \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 13.2.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.2.1

化简 $32 \frac{\sin (30)}{16}$ 。

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解题步骤 13.2.2.1.1

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.2.1.1.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$\sin (A) = 16 (2) \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 13.2.2.1.1.2

约去公因数。

$\sin (A) = 16 \cdot 2 \frac{\sin (30)}{16}$

解题步骤 13.2.2.1.1.3

重写表达式。

$\sin (A) = 2 \sin (30)$

解题步骤 13.2.2.1.2

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 13.2.2.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.2.1.3.1

约去公因数。

$\sin (A) = 2 (\frac{1}{2})$

解题步骤 13.2.2.1.3.2

重写表达式。

$\sin (A) = 1$

解题步骤 13.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (1)$

解题步骤 13.4

化简右边。

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解题步骤 13.4.1

$\arcsin (1)$ 的准确值为 $90$ 。

$A = 90$

解题步骤 13.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 90$

解题步骤 13.6

从 $180$ 中减去 $90$ 。

$A = 90$

解题步骤 13.7

方程 $A = 90$ 的解。

$A = 90, 90$

解题步骤 14

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$90 + 30 + B = 180$

解题步骤 15

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 15.1

将 $90$ 和 $30$ 相加。

$120 + B = 180$

解题步骤 15.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 15.2.1

从等式两边同时减去 $120$ 。

$B = 180 - 120$

解题步骤 15.2.2

从 $180$ 中减去 $120$ 。

$B = 60$

解题步骤 16

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 17

将已知值代入正弦定理以求 $b$ 。

$\frac{\sin (60)}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

解题步骤 18

求解 $b$ 的方程。

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解题步骤 18.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 18.1.1

$\sin (60)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

解题步骤 18.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{b} = \frac{\sin (90)}{32}$

解题步骤 18.1.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{b}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{\sin (90)}{32}$

解题步骤 18.1.4

$\sin (90)$ 的准确值为 $1$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$

解题步骤 18.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 18.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$2 b, 32$

解题步骤 18.2.2

Since $2 b, 32$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $2, 32$ then find LCM for the variable part $b^{1}$ .

解题步骤 18.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 18.2.4

因为除了 $1$ 和 $2$ 之外， $2$ 没有其他因数。

$2$ 是一个质数

解题步骤 18.2.5

$32$ 的质因数是 $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 18.2.5.1

$32$ 具有因式 $2$ 和 $16$ 。

$2 \cdot 16$

解题步骤 18.2.5.2

$16$ 具有因式 $2$ 和 $8$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 8$

解题步骤 18.2.5.3

$8$ 具有因式 $2$ 和 $4$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4$

解题步骤 18.2.5.4

$4$ 具有因式 $2$ 和 $2$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

解题步骤 18.2.6

乘以 $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 18.2.6.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

解题步骤 18.2.6.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 \cdot 2 \cdot 2$

解题步骤 18.2.6.3

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$16 \cdot 2$

解题步骤 18.2.6.4

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$32$

解题步骤 18.2.7

$b^{1}$ 的因式是 $b$ 本身。

$b^{1} = b$

$b$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 18.2.8

$b^{1}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$b$

解题步骤 18.2.9

$2 b, 32$ 的最小公倍数为数字部分 $32$ 乘以变量部分。

$32 b$

解题步骤 18.3

将 $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ 中的每一项乘以 $32 b$ 以消去分数。

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解题步骤 18.3.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2 b} = \frac{1}{32}$ 中的每一项乘以 $32 b$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 b} (32 b) = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 18.3.2

化简左边。

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解题步骤 18.3.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$32 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 18.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.2.2.1

从 $32$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 18.3.2.2.2

从 $2 b$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (16) \frac{\sqrt{3}}{2 (b)} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 18.3.2.2.3

约去公因数。

$2 \cdot 16 \frac{\sqrt{3}}{2 b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 18.3.2.2.4

重写表达式。

$16 \frac{\sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 18.3.2.3

组合 $16$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{b}$ 。

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 18.3.2.4

约去 $b$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.2.4.1

约去公因数。

$\frac{16 \sqrt{3}}{b} b = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 18.3.2.4.2

重写表达式。

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 18.3.3

化简右边。

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解题步骤 18.3.3.1

约去 $32$ 的公因数。

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解题步骤 18.3.3.1.1

从 $32 b$ 中分解出因数 $32$ 。

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 (b))$

解题步骤 18.3.3.1.2

约去公因数。

$16 \sqrt{3} = \frac{1}{32} (32 b)$

解题步骤 18.3.3.1.3

重写表达式。

$16 \sqrt{3} = b$

解题步骤 18.4

将方程重写为 $b = 16 \sqrt{3}$ 。

$b = 16 \sqrt{3}$

解题步骤 19

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

第一个三角形组合：

$A = 90$

$B = 60$

$C = 30$

$a = 32$

$b = 16 \sqrt{3}$

$c = 16$

第二个三角形组合：

$A = 90$

$B = 60$

$C = 30$

$a = 32$

$b = 16 \sqrt{3}$

$c = 16$

三角学 示例

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