三角学示例

$c = 26$ , $b = 53$ , $B = 105$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求 $C$ 。

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (105)}{53}$

解题步骤 3

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 3.1

等式两边同时乘以 $26$ 。

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

解题步骤 3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.1.1

约去 $26$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.1

约去公因数。

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

解题步骤 3.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $26 \frac{\sin (105)}{53}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

$\sin (105)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (75)}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30 + 45)}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.3

使用两角和公式。

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.4

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.6

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.1.8.2

在公分母上合并分子。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{53}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (C) = 26 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53})$

解题步骤 3.2.2.1.3

乘以 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53}$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.3.1

将 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 乘以 $\frac{1}{53}$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 53}$

解题步骤 3.2.2.1.3.2

将 $4$ 乘以 $53$ 。

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

解题步骤 3.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.4.1

从 $26$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (C) = 2 (13) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

解题步骤 3.2.2.1.4.2

从 $212$ 中分解出因数 $2$ 。

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

解题步骤 3.2.2.1.4.3

约去公因数。

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

解题步骤 3.2.2.1.4.4

重写表达式。

$\sin (C) = 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$

解题步骤 3.2.2.1.5

组合 $13$ 和 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$ 。

$\sin (C) = \frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106}$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $C$ 。

$C = \arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$

解题步骤 3.4

化简右边。

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解题步骤 3.4.1

计算 $\arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$ 。

$C = 28.28452639$

解题步骤 3.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$C = 180 - 28.28452639$

解题步骤 3.6

从 $180$ 中减去 $28.28452639$ 。

$C = 151.7154736$

解题步骤 3.7

方程 $C = 28.28452639$ 的解。

$C = 28.28452639, 151.7154736$

解题步骤 3.8

排除无效角。

$C = 28.28452639$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 28.28452639 + 105 = 180$

解题步骤 5

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $28.28452639$ 和 $105$ 相加。

$A + 133.28452639 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $133.28452639$ 。

$A = 180 - 133.28452639$

解题步骤 5.2.2

从 $180$ 中减去 $133.28452639$ 。

$A = 46.7154736$

解题步骤 6

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 7

求解方程。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

解题步骤 8

将已知值代入方程中。

$a = \sqrt{{(53)}^{2} + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot 26 \cos (46.7154736)}$

解题步骤 9

化简结果。

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解题步骤 9.1

对 $53$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{2809 + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

解题步骤 9.2

对 $26$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

解题步骤 9.3

乘以 $- 2 \cdot 53 \cdot 26$ 。

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解题步骤 9.3.1

将 $- 2$ 乘以 $53$ 。

$a = \sqrt{2809 + 676 - 106 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

解题步骤 9.3.2

将 $- 106$ 乘以 $26$ 。

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2756 \cos (46.7154736)}$

解题步骤 9.4

将 $2809$ 和 $676$ 相加。

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 46.7154736$

$B = 105$

$C = 28.28452639$

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

$b = 53$

$c = 26$

三角学 示例

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