三角学示例

$C = 41$ , $B = 105$ , $b = 12.6$

解题步骤 1

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 2

将已知值代入正弦定理以求 $c$ 。

$\frac{\sin (41)}{c} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

解题步骤 3

求解 $c$ 的方程。

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解题步骤 3.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 3.1.1

计算 $\sin (41)$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

解题步骤 3.1.2

$\sin (105)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (75)}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (30 + 45)}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.3

使用两角和公式。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.4

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.6

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.8

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.8.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.8.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.8.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.8.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.8.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.8.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{12.6}$

解题步骤 3.1.2.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{12.6}$

解题步骤 3.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{12.6}$

解题步骤 3.1.4

用 $1$ 除以 $12.6$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$

解题步骤 3.1.5

乘以 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

组合 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 和 $0.\overline{079365}$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.\overline{079365}}{4}$

解题步骤 3.1.5.2

将 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ 乘以 $0.\overline{079365}$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = \frac{0.30664311}{4}$

解题步骤 3.1.6

用 $0.30664311$ 除以 $4$ 。

$\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$c, 1$

解题步骤 3.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$c$

解题步骤 3.3

将 $\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$ 中的每一项乘以 $c$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{0.65605902}{c} = 0.07666077$ 中的每一项乘以 $c$ 。

$\frac{0.65605902}{c} c = 0.07666077 c$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $c$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.65605902}{c} c = 0.07666077 c$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$0.65605902 = 0.07666077 c$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $0.07666077 c = 0.65605902$ 。

$0.07666077 c = 0.65605902$

解题步骤 3.4.2

将 $0.07666077 c = 0.65605902$ 中的每一项除以 $0.07666077$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $0.07666077 c = 0.65605902$ 中的每一项都除以 $0.07666077$ 。

$\frac{0.07666077 c}{0.07666077} = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $0.07666077$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.07666077 c}{0.07666077} = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $c$ 除以 $1$ 。

$c = \frac{0.65605902}{0.07666077}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

用 $0.65605902$ 除以 $0.07666077$ 。

$c = 8.55794879$

解题步骤 4

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$A + 41 + 105 = 180$

解题步骤 5

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 5.1

将 $41$ 和 $105$ 相加。

$A + 146 = 180$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $A$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $146$ 。

$A = 180 - 146$

解题步骤 5.2.2

从 $180$ 中减去 $146$ 。

$A = 34$

解题步骤 6

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 7

将已知值代入正弦定理以求 $a$ 。

$\frac{\sin (34)}{a} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

解题步骤 8

求解 $a$ 的方程。

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解题步骤 8.1

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 8.1.1

计算 $\sin (34)$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (105)}{12.6}$

解题步骤 8.1.2

$\sin (105)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 。

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解题步骤 8.1.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (75)}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.2

将 $75$ 拆分为两个角，其中六个三角函数的值为已知。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (30 + 45)}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.3

使用两角和公式。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.4

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.5

$\cos (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.6

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.7

$\sin (45)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.8

化简 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 8.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.2.8.1.1

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 8.1.2.8.1.1.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.8.1.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.8.1.2

乘以 $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 8.1.2.8.1.2.1

将 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.8.1.2.2

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.8.1.2.3

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.8.1.2.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{12.6}$

解题步骤 8.1.2.8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{12.6}$

解题步骤 8.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{12.6}$

解题步骤 8.1.4

用 $1$ 除以 $12.6$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$

解题步骤 8.1.5

乘以 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot 0.\overline{079365}$ 。

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解题步骤 8.1.5.1

组合 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ 和 $0.\overline{079365}$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) \cdot 0.\overline{079365}}{4}$

解题步骤 8.1.5.2

将 $\sqrt{2} + \sqrt{6}$ 乘以 $0.\overline{079365}$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = \frac{0.30664311}{4}$

解题步骤 8.1.6

用 $0.30664311$ 除以 $4$ 。

$\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$

解题步骤 8.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 8.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$a, 1$

解题步骤 8.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$a$

解题步骤 8.3

将 $\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$ 中的每一项乘以 $a$ 以消去分数。

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解题步骤 8.3.1

将 $\frac{0.5591929}{a} = 0.07666077$ 中的每一项乘以 $a$ 。

$\frac{0.5591929}{a} a = 0.07666077 a$

解题步骤 8.3.2

化简左边。

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解题步骤 8.3.2.1

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 8.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.5591929}{a} a = 0.07666077 a$

解题步骤 8.3.2.1.2

重写表达式。

$0.5591929 = 0.07666077 a$

解题步骤 8.4

求解方程。

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解题步骤 8.4.1

将方程重写为 $0.07666077 a = 0.5591929$ 。

$0.07666077 a = 0.5591929$

解题步骤 8.4.2

将 $0.07666077 a = 0.5591929$ 中的每一项除以 $0.07666077$ 并化简。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $0.07666077 a = 0.5591929$ 中的每一项都除以 $0.07666077$ 。

$\frac{0.07666077 a}{0.07666077} = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

解题步骤 8.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 8.4.2.2.1

约去 $0.07666077$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.07666077 a}{0.07666077} = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

解题步骤 8.4.2.2.1.2

用 $a$ 除以 $1$ 。

$a = \frac{0.5591929}{0.07666077}$

解题步骤 8.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 8.4.2.3.1

用 $0.5591929$ 除以 $0.07666077$ 。

$a = 7.29438057$

解题步骤 9

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 34$

$B = 105$

$C = 41$

$a = 7.29438057$

$b = 12.6$

$c = 8.55794879$

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