三角学示例

$\frac{{(3 + 3 i)}^{5} {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 1

使用二项式定理。

$\frac{(3^{5} + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{(243 + 5 \cdot 3^{4} (3 i) + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.2

通过指数相加将 $3^{4}$ 乘以 $3$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

移动 $3$ 。

$\frac{(243 + 5 \cdot (3 \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $3^{4}$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(243 + 5 \cdot (3^{1} \cdot 3^{4}) i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(243 + 5 \cdot 3^{1 + 4} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{(243 + 5 \cdot 3^{5} i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.3

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{(243 + 5 \cdot 243 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.4

将 $5$ 乘以 $243$ 。

$\frac{(243 + 1215 i + 10 \cdot 3^{3} {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{(243 + 1215 i + 10 \cdot 27 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.6

将 $10$ 乘以 $27$ 。

$\frac{(243 + 1215 i + 270 {(3 i)}^{2} + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.7

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(243 + 1215 i + 270 (3^{2} i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(243 + 1215 i + 270 (9 i^{2}) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.9

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(243 + 1215 i + 270 (9 \cdot - 1) + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.10

乘以 $270 (9 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.10.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(243 + 1215 i + 270 \cdot - 9 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.10.2

将 $270$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 3^{2} {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.11

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 10 \cdot 9 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.12

将 $10$ 乘以 $9$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 {(3 i)}^{3} + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.13

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (3^{3} i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.14

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 i^{3}) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.15

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.16

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.17

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (27 (- i)) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.18

将 $- 1$ 乘以 $27$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 + 90 (- 27 i) + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.19

将 $- 27$ 乘以 $90$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 5 \cdot 3 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.20

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 {(3 i)}^{4} + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.21

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (3^{4} i^{4}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.22

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 i^{4}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.23

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.23.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(i^{2})}^{2}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.23.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 {(- 1)}^{2}) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.23.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 (81 \cdot 1) + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.24

乘以 $15 (81 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 2.1.24.1

将 $81$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 15 \cdot 81 + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.24.2

将 $15$ 乘以 $81$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + {(3 i)}^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.25

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 3^{5} i^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.26

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i^{5}) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.27

因式分解出 $i^{4}$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (i^{4} i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.28

将 $i^{4}$ 重写为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.28.1

将 $i^{4}$ 重写为 ${(i^{2})}^{2}$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(i^{2})}^{2} i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.28.2

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 ({(- 1)}^{2} i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.28.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 (1 i)) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.1.29

将 $i$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(243 + 1215 i - 2430 - 2430 i + 1215 + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $243$ 中减去 $2430$ 。

$\frac{(- 2187 + 1215 i - 2430 i + 1215 + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.2.2

将 $- 2187$ 和 $1215$ 相加。

$\frac{(- 972 + 1215 i - 2430 i + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.2.3

从 $1215 i$ 中减去 $2430 i$ 。

$\frac{(- 972 - 1215 i + 243 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 2.2.4

将 $- 1215 i$ 和 $243 i$ 相加。

$\frac{(- 972 - 972 i) {(- 2 + 2 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 3

使用二项式定理。

$\frac{(- 972 - 972 i) ({(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 3 {(- 2)}^{2} (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 3 \cdot 4 (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 12 (2 i) + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.4

将 $2$ 乘以 $12$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 3 \cdot - 2 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.5

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 {(2 i)}^{2} + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.6

对 $2 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 (2^{2} i^{2}) + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 (4 i^{2}) + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.8

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 (4 \cdot - 1) + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.9

乘以 $- 6 (4 \cdot - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.9.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i - 6 \cdot - 4 + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.9.2

将 $- 6$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + {(2 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.10

对 $2 i$ 运用乘积法则。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 2^{3} i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.11

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.12

因式分解出 $i^{2}$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 (i^{2} \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.13

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 (- 1 \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.14

将 $- 1 i$ 重写为 $- i$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 + 8 (- i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.1.15

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (- 8 + 24 i + 24 - 8 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $- 8$ 和 $24$ 相加。

$\frac{(- 972 - 972 i) (16 + 24 i - 8 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 4.2.2

从 $24 i$ 中减去 $8 i$ 。

$\frac{(- 972 - 972 i) (16 + 16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 5

使用 FOIL 方法展开 $(- 972 - 972 i) (16 + 16 i)$ 。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{- 972 (16 + 16 i) - 972 i (16 + 16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{- 972 \cdot 16 - 972 (16 i) - 972 i (16 + 16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{- 972 \cdot 16 - 972 (16 i) - 972 i \cdot 16 - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1

将 $- 972$ 乘以 $16$ 。

$\frac{- 15552 - 972 (16 i) - 972 i \cdot 16 - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.1.2

将 $16$ 乘以 $- 972$ 。

$\frac{- 15552 - 15552 i - 972 i \cdot 16 - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.1.3

将 $16$ 乘以 $- 972$ 。

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 972 i (16 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.1.4

乘以 $- 972 i (16 i)$ 。

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解题步骤 6.1.4.1

将 $16$ 乘以 $- 972$ 。

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 i i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.1.4.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 (i^{1} i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.1.4.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 (i^{1} i^{1})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.1.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 i^{1 + 1}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.1.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 i^{2}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.1.5

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i - 15552 \cdot - 1}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.1.6

将 $- 15552$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 15552 - 15552 i - 15552 i + 15552}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.2

将 $- 15552$ 和 $15552$ 相加。

$\frac{0 - 15552 i - 15552 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.3

从 $0$ 中减去 $15552 i$ 。

$\frac{- 15552 i - 15552 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 6.4

从 $- 15552 i$ 中减去 $15552 i$ 。

$\frac{- 31104 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{31104 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

三角学 示例

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