三角学示例

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = 2$

解题步骤 1

代入 $2$ 替换 $f (x)$ 。

$2 = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $2 \sin (x) + \cos (2 x) = 2$ 。

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = 2$

解题步骤 2.2

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = 2$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 2 - 1$

解题步骤 2.4

化简右边。

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解题步骤 2.4.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = 1$

解题步骤 2.5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.5.1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = 1$

解题步骤 2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 u - 2 u^{2} - 1 = 0$

解题步骤 2.5.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.4

将 $a = - 2$ 、 $b = 2$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5

化简。

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解题步骤 2.5.5.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.5.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5.1.2.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

解题步骤 2.5.5.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ 。

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

解题步骤 2.5.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.6.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.6.1.2.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.6.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.6.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.6.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.6.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.6.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.6.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

解题步骤 2.5.6.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ 。

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

解题步骤 2.5.6.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{1 + i}{2}$

解题步骤 2.5.6.5

分解分数 $\frac{1 + i}{2}$ 成为两个分数。

$u = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

解题步骤 2.5.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.5.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.7.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.7.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 2 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 2.5.7.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8 \cdot - 1}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.7.1.2.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.7.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.7.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.7.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.7.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.7.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.7.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.7.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 2.5.7.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$

解题步骤 2.5.7.3

化简 $\frac{- 2 \pm 2 i}{- 4}$ 。

$u = \frac{1 \pm i}{2}$

解题步骤 2.5.7.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{1 - i}{2}$

解题步骤 2.5.7.5

分解分数 $\frac{1 - i}{2}$ 成为两个分数。

$u = \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

解题步骤 2.5.7.6

将负号移到分数的前面。

$u = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

解题步骤 2.5.8

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

解题步骤 2.5.9

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

解题步骤 2.5.10

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

$\sin (x) = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

解题步骤 2.5.11

在 $\sin (x) = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.11.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

解题步骤 2.5.11.2

$\arcsin (\frac{1}{2} + \frac{i}{2})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 2.5.12

在 $\sin (x) = \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.12.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$

解题步骤 2.5.12.2

$\arcsin (\frac{1}{2} - \frac{i}{2})$ 的反正弦无意义。

无定义

解题步骤 2.5.13

列出所有解。

无解

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