三角学示例

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = \frac{π}{6}$

解题步骤 1

代入 $\frac{π}{6}$ 替换 $f (x)$ 。

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ 。

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

解题步骤 2.2

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

解题步骤 2.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

解题步骤 2.4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 2.4.1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

解题步骤 2.4.2

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 2.4.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{6}$ 。

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

解题步骤 2.4.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

解题步骤 2.4.3

全部乘以最小公分母 $6$ ，然后化简。

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解题步骤 2.4.3.1

运用分配律。

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4.3.2

化简。

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解题步骤 2.4.3.2.1

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4.3.2.2

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4.3.2.3

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.2.3.1

将 $- \frac{π}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4.3.2.3.2

约去公因数。

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4.3.2.3.3

重写表达式。

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4.3.2.4

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

解题步骤 2.4.3.3

将 $12 u$ 和 $- 12 u^{2}$ 重新排序。

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

解题步骤 2.4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.5

将 $a = - 12$ 、 $b = 12$ 和 $c = - π + 6$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.6

化简。

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解题步骤 2.4.6.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.6.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 12$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.6.1.3

运用分配律。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.6.1.5

将 $48$ 乘以 $6$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.6.1.6

将 $144$ 和 $288$ 相加。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.6.2

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

解题步骤 2.4.6.3

化简 $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ 。

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

解题步骤 2.4.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.7.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.7.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.7.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 12$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.7.1.3

运用分配律。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.7.1.5

将 $48$ 乘以 $6$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.7.1.6

将 $144$ 和 $288$ 相加。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.7.2

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

解题步骤 2.4.7.3

化简 $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ 。

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

解题步骤 2.4.7.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

解题步骤 2.4.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.4.8.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.8.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.8.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 12$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.8.1.3

运用分配律。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.8.1.4

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.8.1.5

将 $48$ 乘以 $6$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.8.1.6

将 $144$ 和 $288$ 相加。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

解题步骤 2.4.8.2

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

解题步骤 2.4.8.3

化简 $\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ 。

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

解题步骤 2.4.8.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

解题步骤 2.4.9

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

解题步骤 2.4.10

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

解题步骤 2.4.11

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

解题步骤 2.4.12

在 $\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.12.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

解题步骤 2.4.12.2

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

解题步骤 2.4.12.3

去掉圆括号。

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

解题步骤 2.4.12.4

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.12.4.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.4.12.4.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.12.4.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.4.12.4.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.4.12.5

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4.13

在 $\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.13.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

解题步骤 2.4.13.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.13.2.1

计算 $\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ 。

$x = - 0.2000451$

解题步骤 2.4.13.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

解题步骤 2.4.13.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.13.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

解题步骤 2.4.13.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

解题步骤 2.4.13.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.2000451$ 相加。

$x = 3.34163776$

解题步骤 2.4.13.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.4.13.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.4.13.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.4.13.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.4.13.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.4.13.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 2.4.13.6.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.2000451$ 以求正角。

$- 0.2000451 + 2 π$

解题步骤 2.4.13.6.2

从 $2 π$ 中减去 $0.2000451$ 。

$6.08314019$

解题步骤 2.4.13.6.3

列出新角。

$x = 6.08314019$

解题步骤 2.4.13.7

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.4.14

列出所有解。

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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