三角学示例

$A = 93$ , $b = 10$ , $c = 15$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 2

求解方程。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$a = \sqrt{{(10)}^{2} + {(15)}^{2} - 2 \cdot 10 \cdot 15 \cos (93)}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{100 + {(15)}^{2} - 2 \cdot 10 \cdot (15 \cos (93))}$

解题步骤 4.2

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{100 + 225 - 2 \cdot 10 \cdot (15 \cos (93))}$

解题步骤 4.3

乘以 $- 2 \cdot 10 \cdot 15$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $10$ 。

$a = \sqrt{100 + 225 - 20 \cdot (15 \cos (93))}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 20$ 乘以 $15$ 。

$a = \sqrt{100 + 225 - 300 \cos (93)}$

解题步骤 4.4

计算 $\cos (93)$ 。

$a = \sqrt{100 + 225 - 300 \cdot - 0.05233595}$

解题步骤 4.5

将 $- 300$ 乘以 $- 0.05233595$ 。

$a = \sqrt{100 + 225 + 15.70078687}$

解题步骤 4.6

将 $100$ 和 $225$ 相加。

$a = \sqrt{325 + 15.70078687}$

解题步骤 4.7

将 $325$ 和 $15.70078687$ 相加。

$a = \sqrt{340.70078687}$

解题步骤 4.8

计算根。

$a = 18.45808188$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{10} = \frac{\sin (93)}{18.45808188}$

解题步骤 7

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $10$ 。

$10 \frac{\sin (B)}{10} = 10 \frac{\sin (93)}{18.45808188}$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$10 \frac{\sin (B)}{10} = 10 \frac{\sin (93)}{18.45808188}$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (B) = 10 \frac{\sin (93)}{18.45808188}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $10 \frac{\sin (93)}{18.45808188}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

计算 $\sin (93)$ 。

$\sin (B) = 10 (\frac{0.99862953}{18.45808188})$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $0.99862953$ 除以 $18.45808188$ 。

$\sin (B) = 10 \cdot 0.05410256$

解题步骤 7.2.2.1.3

将 $10$ 乘以 $0.05410256$ 。

$\sin (B) = 0.54102562$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $B$ 。

$B = \arcsin (0.54102562)$

解题步骤 7.4

化简右边。

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解题步骤 7.4.1

计算 $\arcsin (0.54102562)$ 。

$B = 32.75348512$

解题步骤 7.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 32.75348512$

解题步骤 7.6

从 $180$ 中减去 $32.75348512$ 。

$B = 147.24651487$

解题步骤 7.7

方程 $B = 32.75348512$ 的解。

$B = 32.75348512, 147.24651487$

解题步骤 7.8

排除无效角。

$B = 32.75348512$

解题步骤 8

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$93 + C + 32.75348512 = 180$

解题步骤 9

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 9.1

将 $93$ 和 $32.75348512$ 相加。

$C + 125.75348512 = 180$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $125.75348512$ 。

$C = 180 - 125.75348512$

解题步骤 9.2.2

从 $180$ 中减去 $125.75348512$ 。

$C = 54.24651487$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 93$

$B = 32.75348512$

$C = 54.24651487$

$a = 18.45808188$

$b = 10$

$c = 15$

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