三角学示例

$a = 8$ , $c = 7$ , $B = 31.8$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

解题步骤 2

求解方程。

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$b = \sqrt{{(8)}^{2} + {(7)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cos (31.8)}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \sqrt{64 + {(7)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (7 \cos (31.8))}$

解题步骤 4.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \sqrt{64 + 49 - 2 \cdot 8 \cdot (7 \cos (31.8))}$

解题步骤 4.3

乘以 $- 2 \cdot 8 \cdot 7$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$b = \sqrt{64 + 49 - 16 \cdot (7 \cos (31.8))}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 16$ 乘以 $7$ 。

$b = \sqrt{64 + 49 - 112 \cos (31.8)}$

解题步骤 4.4

将 $64$ 和 $49$ 相加。

$b = \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求 $A$ 。

$\frac{\sin (A)}{8} = \frac{\sin (31.8)}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

解题步骤 7

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $8$ 。

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (31.8)}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$8 \frac{\sin (A)}{8} = 8 \frac{\sin (31.8)}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 8 \frac{\sin (31.8)}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $8 \frac{\sin (31.8)}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

计算 $\sin (31.8)$ 。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

将 $\frac{0.52695579}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$ 。

$\sin (A) = 8 (\frac{0.52695579}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}} \cdot \frac{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}})$

解题步骤 7.2.2.1.3

合并和化简分母。

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解题步骤 7.2.2.1.3.1

将 $\frac{0.52695579}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$ 。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)} \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

解题步骤 7.2.2.1.3.2

对 $\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{1} \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}$

解题步骤 7.2.2.1.3.3

对 $\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{1} {\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{1}}$

解题步骤 7.2.2.1.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.2.2.1.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.1.3.6

将 ${\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}^{2}$ 重写为 $113 - 112 \cos (31.8)$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$ 重写成 ${(113 - 112 \cos (31.8))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{({(113 - 112 \cos (31.8))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.1.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{(113 - 112 \cos (31.8))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.2.2.1.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{(113 - 112 \cos (31.8))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.1.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.3.6.4.1

约去公因数。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{(113 - 112 \cos (31.8))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.1.3.6.4.2

重写表达式。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{{(113 - 112 \cos (31.8))}^{1}}$

解题步骤 7.2.2.1.3.6.5

化简。

$\sin (A) = 8 \frac{0.52695579 \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}}{113 - 112 \cos (31.8)}$

解题步骤 7.2.2.1.4

将 $0.52695579$ 乘以 $\sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$ 。

$\sin (A) = 8 \frac{2.22397936}{113 - 112 \cos (31.8)}$

解题步骤 7.2.2.1.5

计算 $\cos (31.8)$ 。

$\sin (A) = 8 \frac{2.22397936}{113 - 112 \cdot 0.84989269}$

解题步骤 7.2.2.1.6

将 $- 112$ 乘以 $0.84989269$ 。

$\sin (A) = 8 \frac{2.22397936}{113 - 95.18798161}$

解题步骤 7.2.2.1.7

从 $113$ 中减去 $95.18798161$ 。

$\sin (A) = 8 (\frac{2.22397936}{17.81201838})$

解题步骤 7.2.2.1.8

用 $2.22397936$ 除以 $17.81201838$ 。

$\sin (A) = 8 \cdot 0.12485835$

解题步骤 7.2.2.1.9

将 $8$ 乘以 $0.12485835$ 。

$\sin (A) = 0.99886686$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (0.99886686)$

解题步骤 7.4

化简右边。

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解题步骤 7.4.1

计算 $\arcsin (0.99886686)$ 。

$A = 87.27215137$

解题步骤 7.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 87.27215137$

解题步骤 7.6

从 $180$ 中减去 $87.27215137$ 。

$A = 92.72784862$

解题步骤 7.7

方程 $A = 87.27215137$ 的解。

$A = 87.27215137, 92.72784862$

解题步骤 8

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$87.27215137 + C + 31.8 = 180$

解题步骤 9

求解 $C$ 的方程。

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解题步骤 9.1

将 $87.27215137$ 和 $31.8$ 相加。

$C + 119.07215137 = 180$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $C$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $119.07215137$ 。

$C = 180 - 119.07215137$

解题步骤 9.2.2

从 $180$ 中减去 $119.07215137$ 。

$C = 60.92784862$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 87.27215137$

$B = 31.8$

$C = 60.92784862$

$a = 8$

$b = \sqrt{113 - 112 \cos (31.8)}$

$c = 7$

三角学 示例

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