三角学示例

$a = 3$ , $b = 4$ , $C = 30$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

解题步骤 2

求解方程。

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (30)}$

解题步骤 4

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

解题步骤 4.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

解题步骤 4.3

乘以 $- 2 \cdot 3 \cdot 4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (30))}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (30)}$

解题步骤 4.4

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.5.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $2$ 。

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 (- 12) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 \cdot (- 12 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 4.5.3

重写表达式。

$c = \sqrt{9 + 16 - 12 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.6

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求 $A$ 。

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7

求解 $A$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1

化简 $3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1.1

$\sin (30)$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (A) = 3 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.2

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

解题步骤 7.2.2.1.3

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ 。

$\sin (A) = 3 \frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.4

将 $\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ 。

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

解题步骤 7.2.2.1.5

合并和化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1.5.1

将 $\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ 。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7.2.2.1.5.2

移动 $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ 。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

解题步骤 7.2.2.1.5.3

对 $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

解题步骤 7.2.2.1.5.4

对 $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1})}$

解题步骤 7.2.2.1.5.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 7.2.2.1.5.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.1.5.7

将 ${\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}$ 重写为 $25 - 12 \sqrt{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1.5.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ 重写成 ${(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {({(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 7.2.2.1.5.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 7.2.2.1.5.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.1.5.7.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1.5.7.4.1

约去公因数。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 7.2.2.1.5.7.4.2

重写表达式。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{1}}$

解题步骤 7.2.2.1.5.7.5

化简。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$

解题步骤 7.2.2.1.6

将 $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ 乘以 $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ 。

$\sin (A) = 3 (\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})} \cdot \frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}})$

解题步骤 7.2.2.1.7

将 $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ 乘以 $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ 。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3})}$

解题步骤 7.2.2.1.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.2.1.8.1

移动 $25 - 12 \sqrt{3}$ 。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 ((25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3}))}$

解题步骤 7.2.2.1.8.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (625 + 300 \sqrt{3} - 300 \sqrt{3} - 144 {\sqrt{3}}^{2})}$

解题步骤 7.2.2.1.8.3

化简。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 \cdot 193}$

解题步骤 7.2.2.1.8.4

将 $2$ 乘以 $193$ 。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{386}$

解题步骤 7.2.2.1.9

运用分配律。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \cdot 25 + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

解题步骤 7.2.2.1.10

将 $25$ 移到 $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ 的左侧。

$\sin (A) = 3 \frac{25 \cdot \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

解题步骤 7.2.2.1.11

使用根数乘积法则进行合并。

$\sin (A) = 3 \frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$

解题步骤 7.2.2.1.12

组合 $3$ 和 $\frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$ 。

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3})}{386}$

解题步骤 7.2.2.1.13

将 $3$ 移到 $25 - 12 \sqrt{3}$ 的左侧。

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386}$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$

解题步骤 7.4

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.4.1

计算 $\arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$ 。

$A = 46.93568657$

解题步骤 7.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 46.93568657$

解题步骤 7.6

从 $180$ 中减去 $46.93568657$ 。

$A = 133.06431342$

解题步骤 7.7

方程 $A = 46.93568657$ 的解。

$A = 46.93568657, 133.06431342$

解题步骤 8

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$46.93568657 + 30 + B = 180$

解题步骤 9

求解 $B$ 的方程。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

将 $46.93568657$ 和 $30$ 相加。

$76.93568657 + B = 180$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $76.93568657$ 。

$B = 180 - 76.93568657$

解题步骤 9.2.2

从 $180$ 中减去 $76.93568657$ 。

$B = 103.06431342$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 46.93568657$

$B = 103.06431342$

$C = 30$

$a = 3$

$b = 4$

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$

三角学 示例

三角学示例