三角学示例

$a = 5$ , $b = 7$ , $C = 42$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

解题步骤 2

求解方程。

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$c = \sqrt{{(5)}^{2} + {(7)}^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cos (42)}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{25 + {(7)}^{2} - 2 \cdot 5 \cdot (7 \cos (42))}$

解题步骤 4.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$c = \sqrt{25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot (7 \cos (42))}$

解题步骤 4.3

乘以 $- 2 \cdot 5 \cdot 7$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$c = \sqrt{25 + 49 - 10 \cdot (7 \cos (42))}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 10$ 乘以 $7$ 。

$c = \sqrt{25 + 49 - 70 \cos (42)}$

解题步骤 4.4

计算 $\cos (42)$ 。

$c = \sqrt{25 + 49 - 70 \cdot 0.74314482}$

解题步骤 4.5

将 $- 70$ 乘以 $0.74314482$ 。

$c = \sqrt{25 + 49 - 52.02013778}$

解题步骤 4.6

将 $25$ 和 $49$ 相加。

$c = \sqrt{74 - 52.02013778}$

解题步骤 4.7

从 $74$ 中减去 $52.02013778$ 。

$c = \sqrt{21.97986221}$

解题步骤 4.8

计算根。

$c = 4.68826857$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求 $A$ 。

$\frac{\sin (A)}{5} = \frac{\sin (42)}{4.68826857}$

解题步骤 7

求解 $A$ 的方程。

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解题步骤 7.1

等式两边同时乘以 $5$ 。

$5 \frac{\sin (A)}{5} = 5 \frac{\sin (42)}{4.68826857}$

解题步骤 7.2

化简方程的两边。

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解题步骤 7.2.1

化简左边。

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解题步骤 7.2.1.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1.1

约去公因数。

$5 \frac{\sin (A)}{5} = 5 \frac{\sin (42)}{4.68826857}$

解题步骤 7.2.1.1.2

重写表达式。

$\sin (A) = 5 \frac{\sin (42)}{4.68826857}$

解题步骤 7.2.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简 $5 \frac{\sin (42)}{4.68826857}$ 。

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解题步骤 7.2.2.1.1

计算 $\sin (42)$ 。

$\sin (A) = 5 (\frac{0.6691306}{4.68826857})$

解题步骤 7.2.2.1.2

用 $0.6691306$ 除以 $4.68826857$ 。

$\sin (A) = 5 \cdot 0.14272446$

解题步骤 7.2.2.1.3

将 $5$ 乘以 $0.14272446$ 。

$\sin (A) = 0.7136223$

解题步骤 7.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $A$ 。

$A = \arcsin (0.7136223)$

解题步骤 7.4

化简右边。

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解题步骤 7.4.1

计算 $\arcsin (0.7136223)$ 。

$A = 45.53040564$

解题步骤 7.5

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$A = 180 - 45.53040564$

解题步骤 7.6

从 $180$ 中减去 $45.53040564$ 。

$A = 134.46959435$

解题步骤 7.7

方程 $A = 45.53040564$ 的解。

$A = 45.53040564, 134.46959435$

解题步骤 8

三角形中所有角的和是 $180$ 度。

$45.53040564 + 42 + B = 180$

解题步骤 9

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 9.1

将 $45.53040564$ 和 $42$ 相加。

$87.53040564 + B = 180$

解题步骤 9.2

将所有不包含 $B$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $87.53040564$ 。

$B = 180 - 87.53040564$

解题步骤 9.2.2

从 $180$ 中减去 $87.53040564$ 。

$B = 92.46959435$

解题步骤 10

这些是给定三角形的所有角和边的结果。

$A = 45.53040564$

$B = 92.46959435$

$C = 42$

$a = 5$

$b = 7$

$c = 4.68826857$

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