三角学示例

$b = 1$ , $c = 2$ , $A = 150$

解题步骤 1

依据给定的其他两个边和包含的角，使用余弦定理求三角形的未知边。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

解题步骤 2

求解方程。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

解题步骤 3

将已知值代入方程中。

$a = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos (150)}$

解题步骤 4

化简结果。

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解题步骤 4.1

一的任意次幂都为一。

$a = \sqrt{1 + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

解题步骤 4.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

解题步骤 4.3

乘以 $- 2 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot (2 \cos (150))}$

解题步骤 4.3.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \cos (150)}$

解题步骤 4.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \cos (30))}$

解题步骤 4.5

$\cos (30)$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 4.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

将 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

解题步骤 4.6.2

从 $- 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 (- 2) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 4.6.3

约去公因数。

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \cdot (- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

解题步骤 4.6.4

重写表达式。

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3})}$

解题步骤 4.7

化简表达式。

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解题步骤 4.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \sqrt{3}}$

解题步骤 4.7.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$a = \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$

解题步骤 5

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 6

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

解题步骤 7

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 7.1

为了使两个函数相等，这两个函数的自变量必须相等。

$B = 150$

解题步骤 7.2

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 150$

解题步骤 7.3

从 $180$ 中减去 $150$ 。

$B = 30$

解题步骤 7.4

方程 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ 的解。

$B = 150, 30$

解题步骤 7.5

排除不能使 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 8

已知参数不足，无法求三角形。

未知三角形

解题步骤 9

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 10

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

解题步骤 11

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 11.1

为了使两个函数相等，这两个函数的自变量必须相等。

$B = 150$

解题步骤 11.2

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 150$

解题步骤 11.3

从 $180$ 中减去 $150$ 。

$B = 30$

解题步骤 11.4

方程 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ 的解。

$B = 150, 30$

解题步骤 11.5

排除不能使 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 12

已知参数不足，无法求三角形。

未知三角形

解题步骤 13

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 14

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

解题步骤 15

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 15.1

为了使两个函数相等，这两个函数的自变量必须相等。

$B = 150$

解题步骤 15.2

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 150$

解题步骤 15.3

从 $180$ 中减去 $150$ 。

$B = 30$

解题步骤 15.4

方程 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ 的解。

$B = 150, 30$

解题步骤 15.5

排除不能使 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 16

已知参数不足，无法求三角形。

未知三角形

解题步骤 17

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 18

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

解题步骤 19

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 19.1

为了使两个函数相等，这两个函数的自变量必须相等。

$B = 150$

解题步骤 19.2

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 150$

解题步骤 19.3

从 $180$ 中减去 $150$ 。

$B = 30$

解题步骤 19.4

方程 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ 的解。

$B = 150, 30$

解题步骤 19.5

排除不能使 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 20

已知参数不足，无法求三角形。

未知三角形

解题步骤 21

正弦定律是基于三角形边和角的比例关系。该定律表明，对于非直角三角形，它的每一个角的角度和正弦值之比均相同。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

解题步骤 22

将已知值代入正弦定理以求 $B$ 。

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

解题步骤 23

求解 $B$ 的方程。

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解题步骤 23.1

为了使两个函数相等，这两个函数的自变量必须相等。

$B = 150$

解题步骤 23.2

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $180$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$B = 180 - 150$

解题步骤 23.3

从 $180$ 中减去 $150$ 。

$B = 30$

解题步骤 23.4

方程 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ 的解。

$B = 150, 30$

解题步骤 23.5

排除不能使 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 24

已知参数不足，无法求三角形。

未知三角形

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