三角学示例

$(- 4, - \frac{π}{2})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- 4, - \frac{π}{2})$ 之间）之间的 $\cos (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- 4, 0)$ 和 $(- 4, - \frac{π}{2})$ 三点之间的三角形。

取反： $- \frac{π}{2}$

邻边： $- 4$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + {(- \frac{π}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.2.1

对 $- \frac{π}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{16 + {(- 1)}^{2} {(\frac{π}{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

对 $\frac{π}{2}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{16 + {(- 1)}^{2} \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.3

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + 1 \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{π^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{16 + \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

解题步骤 2.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{16 + \frac{π^{2}}{4}}$

解题步骤 2.6

要将 $16$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{16 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}$

解题步骤 2.7

组合 $16$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\sqrt{\frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}$

解题步骤 2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.8.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{16 \cdot 4 + π^{2}}{4}}$

解题步骤 2.8.2

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$\sqrt{\frac{64 + π^{2}}{4}}$

解题步骤 2.9

将 $\sqrt{\frac{64 + π^{2}}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$ 。

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 2.10

化简分母。

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解题步骤 2.10.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 2.10.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}$

解题步骤 3

因为 $\cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，所以 $\cos (θ) = \frac{- 4}{\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}}$ 。

$\frac{- 4}{\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}}$

解题步骤 4

化简 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ 。

$\cos (θ) = - 4 (\frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}})$

解题步骤 4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ 。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

解题步骤 4.3.2

对 $\sqrt{64 + π^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

解题步骤 4.3.3

对 $\sqrt{64 + π^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{\sqrt{64 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{\sqrt{64 + π^{2}}}^{2}}$

解题步骤 4.3.6

将 ${\sqrt{64 + π^{2}}}^{2}$ 重写为 $64 + π^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{64 + π^{2}}$ 重写成 ${(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{({(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

解题步骤 4.3.6.5

化简。

$\cos (θ) = - 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

解题步骤 4.4

乘以 $- 4 \frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.1

组合 $- 4$ 和 $\frac{2 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 4 (2 \sqrt{64 + π^{2}})}{64 + π^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 8 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$\cos (θ) = - \frac{8 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

解题步骤 5

求近似值。

$\cos (θ) = - \frac{8 \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}} \approx - 0.93080155$

三角学 示例

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