三角学示例

$(- 3, \frac{- 2 π}{3})$

解题步骤 1

要求 x 轴与直线（位于点 $(0, 0)$ 和 $(- 3, \frac{- 2 π}{3})$ 之间）之间的 $\cos (θ)$ ，请画出 $(0, 0)$ 、 $(- 3, 0)$ 和 $(- 3, \frac{- 2 π}{3})$ 三点之间的三角形。

取反： $\frac{- 2 π}{3}$

邻边： $- 3$

解题步骤 2

使用勾股定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 求斜边。

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解题步骤 2.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{9 + {(\frac{- 2 π}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将负号移到分数的前面。

$\sqrt{9 + {(- \frac{2 π}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.3.1

对 $- \frac{2 π}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

对 $\frac{2 π}{3}$ 运用乘积法则。

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.3.3

对 $2 π$ 运用乘积法则。

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{9 + 1 \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.6

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 2.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

解题步骤 2.8

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{9 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

解题步骤 2.9

组合 $9$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

解题步骤 2.10.2

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

解题步骤 2.11

将 $\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ 。

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

解题步骤 2.12

化简分母。

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解题步骤 2.12.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

解题步骤 2.12.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

解题步骤 3

因为 $\cos (θ) = \frac{邻边}{斜边}$ ，所以 $\cos (θ) = \frac{- 3}{\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}}$ 。

$\frac{- 3}{\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}}$

解题步骤 4

化简 $\cos (θ)$ 。

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解题步骤 4.1

将分子乘以分母的倒数。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ 。

$\cos (θ) = - 3 (\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}})$

解题步骤 4.3

合并和化简分母。

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解题步骤 4.3.1

将 $\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ 。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

解题步骤 4.3.2

对 $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

解题步骤 4.3.3

对 $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

解题步骤 4.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{2}}$

解题步骤 4.3.6

将 ${\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{2}$ 重写为 $81 + 4 π^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ 重写成 ${(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{({(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.6.4.1

约去公因数。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.3.6.4.2

重写表达式。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

解题步骤 4.3.6.5

化简。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

解题步骤 4.4

乘以 $- 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$ 。

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解题步骤 4.4.1

组合 $- 3$ 和 $\frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 3 (3 \sqrt{81 + 4 π^{2}})}{81 + 4 π^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

解题步骤 4.5

将负号移到分数的前面。

$\cos (θ) = - \frac{9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

解题步骤 5

求近似值。

$\cos (θ) = - \frac{9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}} \approx - 0.81995096$

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