三角学示例

$a = (- 8, 8)$ , $b = (- 6, 2)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 \cdot - 6 + 8 \cdot 2$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 8$ 乘以 $- 6$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 48 + 8 \cdot 2$

解题步骤 2.2.1.2

将 $8$ 乘以 $2$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 48 + 16$

解题步骤 2.2.2

将 $48$ 和 $16$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 64$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 8)}^{2} + 8^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 8^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{64 + 64}$

解题步骤 3.2.3

将 $64$ 和 $64$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{128}$

解题步骤 3.2.4

将 $128$ 重写为 $8^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

从 $128$ 中分解出因数 $64$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{64 (2)}$

解题步骤 3.2.4.2

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{8^{2} \cdot 2}$

解题步骤 3.2.5

从根式下提出各项。

$| a⃗ | = 8 \sqrt{2}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 2^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{36 + 4}$

解题步骤 4.2.3

将 $36$ 和 $4$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{40}$

解题步骤 4.2.4

将 $40$ 重写为 $2^{2} \cdot 10$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $40$ 中分解出因数 $4$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{4 (10)}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

解题步骤 4.2.5

从根式下提出各项。

$| b⃗ | = 2 \sqrt{10}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{64}{8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $64$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $64$ 中分解出因数 $8$ 。

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $8 \sqrt{2} (2 \sqrt{10})$ 中分解出因数 $8$ 。

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 (\sqrt{2} (2 \sqrt{10}))})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{8 \cdot 8}{8 (\sqrt{2} (2 \sqrt{10}))})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{8}{\sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

解题步骤 6.2

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{\sqrt{2} (2 \sqrt{10})})$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $\sqrt{2} (2 \sqrt{10})$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 4}{2 (\sqrt{2} (\sqrt{10}))})$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2} (\sqrt{10})})$

解题步骤 6.3

化简分母。

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解题步骤 6.3.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2 \cdot 10}})$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{20}})$

解题步骤 6.4

化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{4 (5)}})$

解题步骤 6.4.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$θ = \arccos (\frac{4}{\sqrt{2^{2} \cdot 5}})$

解题步骤 6.4.2

从根式下提出各项。

$θ = \arccos (\frac{4}{2 \sqrt{5}})$

解题步骤 6.5

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}})$

解题步骤 6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

从 $2 \sqrt{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 (\sqrt{5})})$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 2}{2 \sqrt{5}})$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{5}})$

解题步骤 6.6

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 6.7

合并和化简分母。

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解题步骤 6.7.1

将 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

解题步骤 6.7.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

解题步骤 6.7.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

解题步骤 6.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

解题步骤 6.7.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 6.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.7.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5^{1}})$

解题步骤 6.7.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$

解题步骤 6.8

计算 $\arccos (\frac{2 \sqrt{5}}{5})$ 。

$θ = 26.56505117$

三角学 示例

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