三角学示例

$(3, 7)$ , $(9, 1)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 7 \cdot 1$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 7 \cdot 1$

解题步骤 2.2.1.2

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 7$

解题步骤 2.2.2

将 $27$ 和 $7$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 34$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 7^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 7^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 49}$

解题步骤 3.2.3

将 $9$ 和 $49$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{58}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 1^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 1^{2}}$

解题步骤 4.2.2

一的任意次幂都为一。

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 1}$

解题步骤 4.2.3

将 $81$ 和 $1$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{82}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{34}{\sqrt{58} \sqrt{82}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arccos (\frac{34}{\sqrt{58 \cdot 82}})$

解题步骤 6.1.2

将 $58$ 乘以 $82$ 。

$θ = \arccos (\frac{34}{\sqrt{4756}})$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

将 $4756$ 重写为 $2^{2} \cdot 1189$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

从 $4756$ 中分解出因数 $4$ 。

$θ = \arccos (\frac{34}{\sqrt{4 (1189)}})$

解题步骤 6.2.1.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$θ = \arccos (\frac{34}{\sqrt{2^{2} \cdot 1189}})$

解题步骤 6.2.2

从根式下提出各项。

$θ = \arccos (\frac{34}{2 \sqrt{1189}})$

解题步骤 6.3

约去 $34$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

从 $34$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 17}{2 \sqrt{1189}})$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1

从 $2 \sqrt{1189}$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 17}{2 (\sqrt{1189})})$

解题步骤 6.3.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 17}{2 \sqrt{1189}})$

解题步骤 6.3.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{17}{\sqrt{1189}})$

解题步骤 6.4

将 $\frac{17}{\sqrt{1189}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{1189}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{17}{\sqrt{1189}} \cdot \frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{1189}})$

解题步骤 6.5

合并和化简分母。

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解题步骤 6.5.1

将 $\frac{17}{\sqrt{1189}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1189}}{\sqrt{1189}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{\sqrt{1189} \sqrt{1189}})$

解题步骤 6.5.2

对 $\sqrt{1189}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{{\sqrt{1189}}^{1} \sqrt{1189}})$

解题步骤 6.5.3

对 $\sqrt{1189}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{{\sqrt{1189}}^{1} {\sqrt{1189}}^{1}})$

解题步骤 6.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{{\sqrt{1189}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{{\sqrt{1189}}^{2}})$

解题步骤 6.5.6

将 ${\sqrt{1189}}^{2}$ 重写为 $1189$ 。

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解题步骤 6.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1189}$ 重写成 $1189^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{{(1189^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.5.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189^{1}})$

解题步骤 6.5.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189})$

解题步骤 6.6

计算 $\arccos (\frac{17 \sqrt{1189}}{1189})$ 。

$θ = 60.46121774$

三角学 示例

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