三角学示例

(6, 10)

$(6, 10)$ ,

$(12, 5)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 6 \cdot 12 + 10 \cdot 5$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将

$6$ 乘以

$12$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 10 \cdot 5$

解题步骤 2.2.1.2

将

$10$ 乘以

$5$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 72 + 50$

解题步骤 2.2.2

将

$72$ 和

$50$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 122$

解题步骤 3

求

$a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{6^{2} + 10^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对

$6$ 进行

$2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 10^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对

$10$ 进行

$2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{36 + 100}$

解题步骤 3.2.3

将

$36$ 和

$100$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{136}$

解题步骤 3.2.4

将

$136$ 重写为

$2^{2} \cdot 34$ 。

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解题步骤 3.2.4.1

从

$136$ 中分解出因数

$4$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{4 (34)}$

解题步骤 3.2.4.2

将

$4$ 重写为

$2^{2}$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 34}$

解题步骤 3.2.5

从根式下提出各项。

$| a⃗ | = 2 \sqrt{34}$

解题步骤 4

求

$b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{12^{2} + 5^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对

$12$ 进行

$2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 5^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对

$5$ 进行

$2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{144 + 25}$

解题步骤 4.2.3

将

$144$ 和

$25$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{169}$

解题步骤 4.2.4

将

$169$ 重写为

$13^{2}$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

解题步骤 4.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| b⃗ | = 13$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{122}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去

$122$ 和

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从

$122$ 中分解出因数

$2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 \sqrt{34} \cdot 13})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从

$2 \sqrt{34} \cdot 13$ 中分解出因数

$2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot 61}{2 (\sqrt{34} \cdot 13)})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{61}{\sqrt{34} \cdot 13})$

解题步骤 6.2

将

$13$ 移到

$\sqrt{34}$ 的左侧。

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}})$

解题步骤 6.3

将

$\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{61}{13 \sqrt{34}} \cdot \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}})$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将

$\frac{61}{13 \sqrt{34}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{34}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \sqrt{34} \sqrt{34}})$

解题步骤 6.4.2

移动

$\sqrt{34}$ 。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 (\sqrt{34} \sqrt{34})})$

解题步骤 6.4.3

对

$\sqrt{34}$ 进行

$1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} \sqrt{34})})$

解题步骤 6.4.4

对

$\sqrt{34}$ 进行

$1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 ({\sqrt{34}}^{1} {\sqrt{34}}^{1})})$

解题步骤 6.4.5

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.4.6

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {\sqrt{34}}^{2}})$

解题步骤 6.4.7

将

${\sqrt{34}}^{2}$ 重写为

$34$ 。

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解题步骤 6.4.7.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{34}$ 重写成

$34^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 {(34^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.4.7.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.7.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.7.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.7.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34^{1}})$

解题步骤 6.4.7.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{13 \cdot 34})$

解题步骤 6.5

将

$13$ 乘以

$34$ 。

$θ = \arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$

解题步骤 6.6

计算

$\arccos (\frac{61 \sqrt{34}}{442})$ 。

$θ = 36.41637851$

三角学 示例

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