三角学示例

$(3, 2)$ , $(4, 5)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 4 + 2 \cdot 5$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 2 \cdot 5$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 12 + 10$

解题步骤 2.2.2

将 $12$ 和 $10$ 相加。

$a⃗ \cdot b⃗ = 22$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 2^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 4}$

解题步骤 3.2.3

将 $9$ 和 $4$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{13}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{4^{2} + 5^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 5^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 25}$

解题步骤 4.2.3

将 $16$ 和 $25$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{41}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{22}{\sqrt{13} \sqrt{41}})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

使用根数乘积法则进行合并。

$θ = \arccos (\frac{22}{\sqrt{13 \cdot 41}})$

解题步骤 6.1.2

将 $13$ 乘以 $41$ 。

$θ = \arccos (\frac{22}{\sqrt{533}})$

解题步骤 6.2

将 $\frac{22}{\sqrt{533}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{533}}{\sqrt{533}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{22}{\sqrt{533}} \cdot \frac{\sqrt{533}}{\sqrt{533}})$

解题步骤 6.3

合并和化简分母。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{22}{\sqrt{533}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{533}}{\sqrt{533}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{\sqrt{533} \sqrt{533}})$

解题步骤 6.3.2

对 $\sqrt{533}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{{\sqrt{533}}^{1} \sqrt{533}})$

解题步骤 6.3.3

对 $\sqrt{533}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{{\sqrt{533}}^{1} {\sqrt{533}}^{1}})$

解题步骤 6.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{{\sqrt{533}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{{\sqrt{533}}^{2}})$

解题步骤 6.3.6

将 ${\sqrt{533}}^{2}$ 重写为 $533$ 。

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解题步骤 6.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{533}$ 重写成 $533^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{{(533^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{533^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{533^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{533^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.3.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{533^{1}})$

解题步骤 6.3.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{533})$

解题步骤 6.4

计算 $\arccos (\frac{22 \sqrt{533}}{533})$ 。

$θ = 17.65012421$

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