三角学示例

$(- 2, 7)$ , $(0, - 4)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 0 + 7 \cdot - 4$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $0$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 7 \cdot - 4$

解题步骤 2.2.1.2

将 $7$ 乘以 $- 4$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 28$

解题步骤 2.2.2

从 $0$ 中减去 $28$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 28$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 7^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 7^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 49}$

解题步骤 3.2.3

将 $4$ 和 $49$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{53}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 16}$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{16}$

解题步骤 4.2.4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 4.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| b⃗ | = 4$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{- 28}{\sqrt{53} \cdot 4})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $- 28$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $- 28$ 中分解出因数 $4$ 。

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 7}{\sqrt{53} \cdot 4})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $\sqrt{53} \cdot 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 7}{4 \cdot \sqrt{53}})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 7}{4 \cdot \sqrt{53}})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{- 7}{\sqrt{53}})$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$θ = \arccos (- \frac{7}{\sqrt{53}})$

解题步骤 6.3

将 $\frac{7}{\sqrt{53}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$ 。

$θ = \arccos (- (\frac{7}{\sqrt{53}} \cdot \frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}))$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将 $\frac{7}{\sqrt{53}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{53}}{\sqrt{53}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{\sqrt{53} \sqrt{53}})$

解题步骤 6.4.2

对 $\sqrt{53}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1} \sqrt{53}})$

解题步骤 6.4.3

对 $\sqrt{53}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1} {\sqrt{53}}^{1}})$

解题步骤 6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{{\sqrt{53}}^{2}})$

解题步骤 6.4.6

将 ${\sqrt{53}}^{2}$ 重写为 $53$ 。

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解题步骤 6.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{53}$ 重写成 $53^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{{(53^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.6.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.6.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53^{1}})$

解题步骤 6.4.6.5

计算指数。

$θ = \arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53})$

解题步骤 6.5

计算 $\arccos (- \frac{7 \sqrt{53}}{53})$ 。

$θ = 164.05460409$

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