三角学示例

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$ ,

(1, 7)

$(1, 7)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将

- 2

$- 2$ 乘以

1

$1$ 。

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7$

解题步骤 2.2.1.2

将

0

$0$ 乘以

7

$7$ 。

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

解题步骤 2.2.2

将

- 2

$- 2$ 和

0

$0$ 相加。

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

解题步骤 3

求

a⃗

$a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对

- 2

$- 2$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}$

解题步骤 3.2.3

将

4

$4$ 和

0

$0$ 相加。

| a⃗ | = \sqrt{4}

$| a⃗ | = \sqrt{4}$

解题步骤 3.2.4

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 3.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

解题步骤 4

求

b⃗

$b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

一的任意次幂都为一。

| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对

7

$7$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}$

解题步骤 4.2.3

将

1

$1$ 和

49

$49$ 相加。

| b⃗ | = \sqrt{50}

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

解题步骤 4.2.4

将

50

$50$ 重写为

5^{2} \cdot 2

$5^{2} \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

从

50

$50$ 中分解出因数

25

$25$ 。

| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

解题步骤 4.2.4.2

将

25

$25$ 重写为

5^{2}

$5^{2}$ 。

| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.2.5

从根式下提出各项。

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去

- 2

$- 2$ 和

2

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从

- 2

$- 2$ 中分解出因数

2

$2$ 。

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

解题步骤 6.1.2.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{5 \sqrt{2}})$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$θ = \arccos (- \frac{1}{5 \sqrt{2}})$

解题步骤 6.3

将

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$θ = \arccos (- (\frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

解题步骤 6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 6.4.1

将

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ 乘以

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

解题步骤 6.4.2

移动

$\sqrt{2}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

解题步骤 6.4.3

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

解题步骤 6.4.4

对

$\sqrt{2}$ 进行

$1$ 次方运算。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

解题步骤 6.4.5

使用幂法则

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.4.6

将

$1$ 和

$1$ 相加。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}})$

解题步骤 6.4.7

将

${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为

$2$ 。

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解题步骤 6.4.7.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{2}$ 重写成

$2^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.4.7.3

组合

$\frac{1}{2}$ 和

$2$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.7.4

约去

$2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.7.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.4.7.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}})$

解题步骤 6.4.7.5

计算指数。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2})$

解题步骤 6.5

将

$5$ 乘以

$2$ 。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$

解题步骤 6.6

计算

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$ 。

$θ = 98.13010235$

三角学 示例

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