三角学示例

$(1, 2)$ , $(- 2, - 4)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot - 2 + 2 \cdot - 4$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 2 \cdot - 4$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 - 8$

解题步骤 2.2.2

从 $- 2$ 中减去 $8$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 10$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

一的任意次幂都为一。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 2^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 4}$

解题步骤 3.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 16}$

解题步骤 4.2.3

将 $4$ 和 $16$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{20}$

解题步骤 4.2.4

将 $20$ 重写为 $2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 4.2.4.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{4 (5)}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 5}$

解题步骤 4.2.5

从根式下提出各项。

$| b⃗ | = 2 \sqrt{5}$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{- 10}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $- 10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{\sqrt{5} (2 \sqrt{5})})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $\sqrt{5} (2 \sqrt{5})$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 5}{2 (\sqrt{5} (\sqrt{5}))})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{\sqrt{5} (\sqrt{5})})$

解题步骤 6.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.1

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

解题步骤 6.2.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

解题步骤 6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

解题步骤 6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{\sqrt{5}}^{2}})$

解题步骤 6.3

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 6.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

解题步骤 6.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 6.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.1

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{\frac{2}{2}}})$

解题步骤 6.3.4.2

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5^{1}})$

解题步骤 6.3.5

计算指数。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

解题步骤 6.4

用 $- 5$ 除以 $5$ 。

$θ = \arccos (- 1)$

解题步骤 6.5

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $180$ 。

$θ = 180$

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