三角学示例

(0, 4)

$(0, 4)$ ,

(0, - 5)

$(0, - 5)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 0 + 4 \cdot - 5

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 0 + 4 \cdot - 5$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将

0

$0$ 乘以

0

$0$ 。

a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 4 \cdot - 5

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 4 \cdot - 5$

解题步骤 2.2.1.2

将

4

$4$ 乘以

- 5

$- 5$ 。

a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 20

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 20$

a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 20

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 20$

解题步骤 2.2.2

从

0

$0$ 中减去

20

$20$ 。

a⃗ \cdot b⃗ = - 20

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20$

a⃗ \cdot b⃗ = - 20

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20$

a⃗ \cdot b⃗ = - 20

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20$

解题步骤 3

求

a⃗

$a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

| a⃗ | = \sqrt{0 + 4^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 4^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对

4

$4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| a⃗ | = \sqrt{0 + 16}

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 16}$

解题步骤 3.2.3

将

0

$0$ 和

16

$16$ 相加。

| a⃗ | = \sqrt{16}

$| a⃗ | = \sqrt{16}$

解题步骤 3.2.4

将

16

$16$ 重写为

4^{2}

$4^{2}$ 。

| a⃗ | = \sqrt{4^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 3.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

| a⃗ | = 4

$| a⃗ | = 4$

| a⃗ | = 4

$| a⃗ | = 4$

| a⃗ | = 4

$| a⃗ | = 4$

解题步骤 4

求

b⃗

$b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对

0

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

0

$0$ 。

| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 5)}^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对

- 5

$- 5$ 进行

2

$2$ 次方运算。

| b⃗ | = \sqrt{0 + 25}

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 25}$

解题步骤 4.2.3

将

0

$0$ 和

25

$25$ 相加。

| b⃗ | = \sqrt{25}

$| b⃗ | = \sqrt{25}$

解题步骤 4.2.4

将

25

$25$ 重写为

5^{2}

$5^{2}$ 。

| b⃗ | = \sqrt{5^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 4.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

| b⃗ | = 5

$| b⃗ | = 5$

| b⃗ | = 5

$| b⃗ | = 5$

| b⃗ | = 5

$| b⃗ | = 5$

解题步骤 5

将值代入公式中。

θ = \arccos (\frac{- 20}{4 \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{- 20}{4 \cdot 5})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去

- 20

$- 20$ 和

4

$4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从

- 20

$- 20$ 中分解出因数

4

$4$ 。

θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 5})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从

4 \cdot 5

$4 \cdot 5$ 中分解出因数

4

$4$ 。

θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 (5)})

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 (5)})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 5})

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 5})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

θ = \arccos (\frac{- 5}{5})

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

θ = \arccos (\frac{- 5}{5})

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

θ = \arccos (\frac{- 5}{5})

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

解题步骤 6.2

约去

- 5

$- 5$ 和

5

$5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从

- 5

$- 5$ 中分解出因数

5

$5$ 。

θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5})

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5})$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从

5

$5$ 中分解出因数

5

$5$ 。

θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)})

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)})$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1})

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

θ = \arccos (\frac{- 1}{1})

$θ = \arccos (\frac{- 1}{1})$

解题步骤 6.2.2.4

用

- 1

$- 1$ 除以

1

$1$ 。

θ = \arccos (- 1)

$θ = \arccos (- 1)$

θ = \arccos (- 1)

$θ = \arccos (- 1)$

θ = \arccos (- 1)

$θ = \arccos (- 1)$

解题步骤 6.3

\arccos (- 1)

$\arccos (- 1)$ 的准确值为

180

$180$ 。

θ = 180

$θ = 180$

θ = 180

$θ = 180$

三角学 示例

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