三角学示例

$(0, 4)$ , $(0, - 5)$

解题步骤 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

解题步骤 2

Find the dot product.

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解题步骤 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 0 + 4 \cdot - 5$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

将 $0$ 乘以 $0$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 4 \cdot - 5$

解题步骤 2.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 5$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 20$

解题步骤 2.2.2

从 $0$ 中减去 $20$ 。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20$

解题步骤 3

求 $a⃗$ 的大小。

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解题步骤 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 4^{2}}$

解题步骤 3.2.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 16}$

解题步骤 3.2.3

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$| a⃗ | = \sqrt{16}$

解题步骤 3.2.4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 3.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| a⃗ | = 4$

解题步骤 4

求 $b⃗$ 的大小。

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解题步骤 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2

化简。

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解题步骤 4.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 5)}^{2}}$

解题步骤 4.2.2

对 $- 5$ 进行 $2$ 次方运算。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 25}$

解题步骤 4.2.3

将 $0$ 和 $25$ 相加。

$| b⃗ | = \sqrt{25}$

解题步骤 4.2.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

解题步骤 4.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| b⃗ | = 5$

解题步骤 5

将值代入公式中。

$θ = \arccos (\frac{- 20}{4 \cdot 5})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

约去 $- 20$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $- 20$ 中分解出因数 $4$ 。

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 5})$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

从 $4 \cdot 5$ 中分解出因数 $4$ 。

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 (5)})$

解题步骤 6.1.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 5})$

解题步骤 6.1.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

解题步骤 6.2

约去 $- 5$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $- 5$ 中分解出因数 $5$ 。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5})$

解题步骤 6.2.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)})$

解题步骤 6.2.2.2

约去公因数。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1})$

解题步骤 6.2.2.3

重写表达式。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{1})$

解题步骤 6.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$θ = \arccos (- 1)$

解题步骤 6.3

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $180$ 。

$θ = 180$

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