三角学示例

$h (t) = 40 \sin (\frac{5 π}{4} t - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 1

使用 $a \sin (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 40$

$b = \frac{5 π}{4}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 55$

解题步骤 2

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $40$

解题步骤 3

使用公式 $\frac{2 π}{| b |}$ 求周期。

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解题步骤 3.1

求 $40 \sin (\frac{5 π x}{4} - \frac{π}{2})$ 的周期。

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解题步骤 3.1.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.1.2

使用周期公式中的 $\frac{5 π}{4}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{5 π}{4} |}$

解题步骤 3.1.3

$\frac{5 π}{4}$ 约为 $3.92699081$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{5 π}{4}}$

解题步骤 3.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{4}{5 π}$

解题步骤 3.1.5

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{4}{5 π}$

解题步骤 3.1.5.2

从 $5 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

解题步骤 3.1.5.3

约去公因数。

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

解题步骤 3.1.5.4

重写表达式。

$2 (\frac{4}{5})$

解题步骤 3.1.6

组合 $2$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

解题步骤 3.1.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8}{5}$

解题步骤 3.2

求 $55$ 的周期。

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解题步骤 3.2.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.2

使用周期公式中的 $\frac{5 π}{4}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{5 π}{4} |}$

解题步骤 3.2.3

$\frac{5 π}{4}$ 约为 $3.92699081$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{5 π}{4}}$

解题步骤 3.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{4}{5 π}$

解题步骤 3.2.5

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{4}{5 π}$

解题步骤 3.2.5.2

从 $5 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

解题步骤 3.2.5.3

约去公因数。

$π \cdot 2 \frac{4}{π \cdot 5}$

解题步骤 3.2.5.4

重写表达式。

$2 (\frac{4}{5})$

解题步骤 3.2.6

组合 $2$ 和 $\frac{4}{5}$ 。

$\frac{2 \cdot 4}{5}$

解题步骤 3.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{8}{5}$

解题步骤 3.3

三角函数加、减后的周期是每一函数周期的最大值。

$\frac{8}{5}$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{5 π}{4}}$

解题步骤 4.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{5 π}$

解题步骤 4.4

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

从 $5 π$ 中分解出因数 $π$ 。

相移： $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{π \cdot 5}$

解题步骤 4.4.2

约去公因数。

相移： $\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{π \cdot 5}$

解题步骤 4.4.3

重写表达式。

相移： $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}$

解题步骤 4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

相移： $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{5}$

解题步骤 4.5.2

约去公因数。

相移： $\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{5}$

解题步骤 4.5.3

重写表达式。

相移： $\frac{2}{5}$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅： $40$

周期： $\frac{8}{5}$

相移： $\frac{2}{5}$ （ $\frac{2}{5}$ 向右移）

垂直位移： $55$

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在 $x = \frac{8}{5}$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的 $\frac{8}{5}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{5 π (\frac{8}{5})}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.2.1.1.1.1

组合 $\frac{8}{5}$ 和 $5$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 \cdot 5}{5} \cdot π}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.1.2

组合 $\frac{8 \cdot 5}{5}$ 和 $π$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 \cdot (5 π)}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.2

将 $8$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{40 π}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 6.1.2.1.1.3.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{40 π}{5}$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.1.3.1.1

从 $40 π$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.3.1.2

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5 (1)}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.3.1.3

约去公因数。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{5 (8 π)}{5 \cdot 1}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.3.1.4

重写表达式。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{\frac{8 π}{1}}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.3.2

用 $8 π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{8 π}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.4

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1.4.1

从 $8 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π}{1} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.1.4.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (2 π - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.3

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.5

化简分子。

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解题步骤 6.1.2.1.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{4 π - π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.5.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \sin (\frac{3 π}{2}) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{8}{5}) = 40 (- \sin (\frac{π}{2})) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 (- 1 \cdot 1) + 55$

解题步骤 6.1.2.1.8

乘以 $40 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.1.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{8}{5}) = 40 \cdot - 1 + 55$

解题步骤 6.1.2.1.8.2

将 $40$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{8}{5}) = - 40 + 55$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 40$ 和 $55$ 相加。

$f (\frac{8}{5}) = 15$

解题步骤 6.1.2.3

最终答案为 $15$ 。

$15$

解题步骤 6.2

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{8}{5} & 15 \\ \frac{16}{5} & 15 \\ \frac{24}{5} & 15 \\ \frac{32}{5} & 15 \\ 8 & 15 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $40$

周期： $\frac{8}{5}$

相移： $\frac{2}{5}$ （ $\frac{2}{5}$ 向右移）

垂直位移： $55$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ \frac{8}{5} & 15 \\ \frac{16}{5} & 15 \\ \frac{24}{5} & 15 \\ \frac{32}{5} & 15 \\ 8 & 15 \end{array}$

解题步骤 8

三角学 示例

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