三角学示例

$h (x) = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意 $y = \cot (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = n π$ ，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = \cot (x)$ 、 $(0, π)$ 的基本周期可求 $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ 的垂直渐近线。将余切函数的变量设为 $b x + c$ ，使得 $y = a \cot (b x + c) + d$ 等于 $0$ ，以求 $y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ 的垂直渐近线出现的坐标位置。

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.2

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1.1.1

约去公因数。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3.1.1.2

重写表达式。

$x = 3 \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

组合 $3$ 和 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.3

使余切函数内的 $\frac{x}{3} - \frac{π}{2}$ 等于 $π$ 。

$\frac{x}{3} - \frac{π}{2} = π$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.4.1.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{3} = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4.1.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{3} = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4.1.3

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{3} = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 1.4.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.5.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{3} = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 1.4.1.5.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$\frac{x}{3} = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4.2

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4.3

化简方程的两边。

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解题步骤 1.4.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.4.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.3.1.1.1

约去公因数。

$3 \frac{x}{3} = 3 \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4.3.1.1.2

重写表达式。

$x = 3 \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.2.1

乘以 $3 \frac{3 π}{2}$ 。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

组合 $3$ 和 $\frac{3 π}{2}$ 。

$x = \frac{3 (3 π)}{2}$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{9 π}{2}$

解题步骤 1.5

$y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ 的基期将出现在 $(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$ ，其中 $\frac{3 π}{2}$ 和 $\frac{9 π}{2}$ 为垂直渐近线。

$(\frac{3 π}{2}, \frac{9 π}{2})$

解题步骤 1.6

求周期 $\frac{π}{| b |}$ 以确定垂直渐近线的位置。

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解题步骤 1.6.1

$\frac{1}{3}$ 约为 $0.\overline{3}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1.6.2

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 3$

解题步骤 1.6.3

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$3 π$

解题步骤 1.7

$y = 8 - \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ 的垂直渐近线出现在 $\frac{3 π}{2}$ 、 $\frac{9 π}{2}$ 以及每一处 $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ ，其中 $n$ 为整数。

$x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$

解题步骤 1.8

余切只有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 2

将表达式重写为 $- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8$ 。

$- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2}) + 8$

解题步骤 3

使用 $a \cot (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = - 1$

$b = \frac{1}{3}$

$c = \frac{π}{2}$

$d = 8$

解题步骤 4

因为函数 $c o t$ 的图像没有最大值或最小值，所以不存在振幅值。

振幅：无

解题步骤 5

使用公式 $\frac{π}{| b |}$ 求周期。

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解题步骤 5.1

求 $- \cot (\frac{x}{3} - \frac{π}{2})$ 的周期。

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解题步骤 5.1.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.1.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{3}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

解题步骤 5.1.3

$\frac{1}{3}$ 约为 $0.\overline{3}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 3$

解题步骤 5.1.5

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$3 π$

解题步骤 5.2

求 $8$ 的周期。

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解题步骤 5.2.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{3}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{1}{3} |}$

解题步骤 5.2.3

$\frac{1}{3}$ 约为 $0.\overline{3}$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \cdot 3$

解题步骤 5.2.5

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$3 π$

解题步骤 5.3

三角函数加、减后的周期是每一函数周期的最大值。

$3 π$

解题步骤 6

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 6.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 6.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{\frac{π}{2}}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 6.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $\frac{π}{2} \cdot 3$

解题步骤 6.4

组合 $\frac{π}{2}$ 和 $3$ 。

相移： $\frac{π \cdot 3}{2}$

解题步骤 6.5

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

相移： $\frac{3 π}{2}$

解题步骤 7

列出三角函数的性质。

振幅：无

周期： $3 π$

相移： $\frac{3 π}{2}$ （ $\frac{3 π}{2}$ 向右移）

垂直位移： $8$

解题步骤 8

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

垂直渐近线： $x = \frac{3 π}{2} + 3 π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

振幅：无

周期： $3 π$

相移： $\frac{3 π}{2}$ （ $\frac{3 π}{2}$ 向右移）

垂直位移： $8$

解题步骤 9

三角学 示例

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