三角学示例

$H (x) = 25 \cos (\frac{π}{14} x) + 31$

解题步骤 1

使用 $a \cos (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 25$

$b = \frac{π}{14}$

$c = 0$

$d = 31$

解题步骤 2

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $25$

解题步骤 3

使用公式 $\frac{2 π}{| b |}$ 求周期。

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解题步骤 3.1

求 $25 \cos (\frac{π x}{14})$ 的周期。

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解题步骤 3.1.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.1.2

使用周期公式中的 $\frac{π}{14}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{π}{14} |}$

解题步骤 3.1.3

$\frac{π}{14}$ 约为 $0.22439947$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{π}{14}}$

解题步骤 3.1.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{14}{π}$

解题步骤 3.1.5

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{14}{π}$

解题步骤 3.1.5.2

约去公因数。

$π \cdot 2 \frac{14}{π}$

解题步骤 3.1.5.3

重写表达式。

$2 \cdot 14$

解题步骤 3.1.6

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$28$

解题步骤 3.2

求 $31$ 的周期。

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解题步骤 3.2.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.2

使用周期公式中的 $\frac{π}{14}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{π}{14} |}$

解题步骤 3.2.3

$\frac{π}{14}$ 约为 $0.22439947$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{π}{14}}$

解题步骤 3.2.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{14}{π}$

解题步骤 3.2.5

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{14}{π}$

解题步骤 3.2.5.2

约去公因数。

$π \cdot 2 \frac{14}{π}$

解题步骤 3.2.5.3

重写表达式。

$2 \cdot 14$

解题步骤 3.2.6

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$28$

解题步骤 3.3

三角函数加、减后的周期是每一函数周期的最大值。

$28$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{0}{\frac{π}{14}}$

解题步骤 4.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $0 (\frac{14}{π})$

解题步骤 4.4

将 $0$ 乘以 $\frac{14}{π}$ 。

相移： $0$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅： $25$

周期： $28$

相移：无

垂直位移： $31$

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在 $x = 7$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f (7) = 25 \cos (\frac{π (7)}{14}) + 31$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.1.2.1.1

约去 $7$ 和 $14$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1.1

从 $π (7)$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (7) = 25 \cos (\frac{7 π}{14}) + 31$

解题步骤 6.1.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1.1.2.1

从 $14$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (7) = 25 \cos (\frac{7 π}{7 \cdot 2}) + 31$

解题步骤 6.1.2.1.1.2.2

约去公因数。

$f (7) = 25 \cos (\frac{7 π}{7 \cdot 2}) + 31$

解题步骤 6.1.2.1.1.2.3

重写表达式。

$f (7) = 25 \cos (\frac{π}{2}) + 31$

解题步骤 6.1.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (7) = 25 \cdot 0 + 31$

解题步骤 6.1.2.1.3

将 $25$ 乘以 $0$ 。

$f (7) = 0 + 31$

解题步骤 6.1.2.2

将 $0$ 和 $31$ 相加。

$f (7) = 31$

解题步骤 6.1.2.3

最终答案为 $31$ 。

$31$

解题步骤 6.2

求在 $x = 14$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的 $14$ 替换变量 $x$ 。

$f (14) = 25 \cos (\frac{π (14)}{14}) + 31$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

约去 $14$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

约去公因数。

$f (14) = 25 \cos (\frac{π \cdot 14}{14}) + 31$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (14) = 25 \cos (π) + 31$

解题步骤 6.2.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (14) = 25 (- \cos (0)) + 31$

解题步骤 6.2.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (14) = 25 (- 1 \cdot 1) + 31$

解题步骤 6.2.2.1.4

乘以 $25 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (14) = 25 \cdot - 1 + 31$

解题步骤 6.2.2.1.4.2

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$f (14) = - 25 + 31$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 25$ 和 $31$ 相加。

$f (14) = 6$

解题步骤 6.2.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 6.3

求在 $x = 21$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的 $21$ 替换变量 $x$ 。

$f (21) = 25 \cos (\frac{π (21)}{14}) + 31$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.2.1.1

约去 $21$ 和 $14$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.1

从 $π (21)$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (21) = 25 \cos (\frac{7 (π \cdot (3))}{14}) + 31$

解题步骤 6.3.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.2.1.1.2.1

从 $14$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (21) = 25 \cos (\frac{7 (π \cdot (3))}{7 (2)}) + 31$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.2

约去公因数。

$f (21) = 25 \cos (\frac{7 (π \cdot (3))}{7 \cdot 2}) + 31$

解题步骤 6.3.2.1.1.2.3

重写表达式。

$f (21) = 25 \cos (\frac{π \cdot (3)}{2}) + 31$

解题步骤 6.3.2.1.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (21) = 25 \cos (\frac{3 \cdot π}{2}) + 31$

解题步骤 6.3.2.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (21) = 25 \cos (\frac{π}{2}) + 31$

解题步骤 6.3.2.1.4

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (21) = 25 \cdot 0 + 31$

解题步骤 6.3.2.1.5

将 $25$ 乘以 $0$ 。

$f (21) = 0 + 31$

解题步骤 6.3.2.2

将 $0$ 和 $31$ 相加。

$f (21) = 31$

解题步骤 6.3.2.3

最终答案为 $31$ 。

$31$

解题步骤 6.4

求在 $x = 42$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的 $42$ 替换变量 $x$ 。

$f (42) = 25 \cos (\frac{π (42)}{14}) + 31$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1.1

约去 $42$ 和 $14$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1.1

从 $π (42)$ 中分解出因数 $14$ 。

$f (42) = 25 \cos (\frac{14 (π \cdot (3))}{14}) + 31$

解题步骤 6.4.2.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.1.1.2.1

从 $14$ 中分解出因数 $14$ 。

$f (42) = 25 \cos (\frac{14 (π \cdot (3))}{14 (1)}) + 31$

解题步骤 6.4.2.1.1.2.2

约去公因数。

$f (42) = 25 \cos (\frac{14 (π \cdot (3))}{14 \cdot 1}) + 31$

解题步骤 6.4.2.1.1.2.3

重写表达式。

$f (42) = 25 \cos (\frac{π \cdot (3)}{1}) + 31$

解题步骤 6.4.2.1.1.2.4

用 $π \cdot (3)$ 除以 $1$ 。

$f (42) = 25 \cos (π \cdot (3)) + 31$

解题步骤 6.4.2.1.2

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$f (42) = 25 \cos (3 \cdot π) + 31$

解题步骤 6.4.2.1.3

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (42) = 25 \cos (π) + 31$

解题步骤 6.4.2.1.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (42) = 25 (- \cos (0)) + 31$

解题步骤 6.4.2.1.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (42) = 25 (- 1 \cdot 1) + 31$

解题步骤 6.4.2.1.6

乘以 $25 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 6.4.2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (42) = 25 \cdot - 1 + 31$

解题步骤 6.4.2.1.6.2

将 $25$ 乘以 $- 1$ 。

$f (42) = - 25 + 31$

解题步骤 6.4.2.2

将 $- 25$ 和 $31$ 相加。

$f (42) = 6$

解题步骤 6.4.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 6.5

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 7 & 31 \\ 14 & 6 \\ 21 & 31 \\ 35 & 31 \\ 42 & 6 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $25$

周期： $28$

相移：无

垂直位移： $31$

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 7 & 31 \\ 14 & 6 \\ 21 & 31 \\ 35 & 31 \\ 42 & 6 \end{array}$

解题步骤 8

三角学 示例

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