三角学示例

$h (x) = 2 {(x - 3)}^{2} + 4$

解题步骤 1

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 1.1

使用顶点式 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = 2$

$h = 3$

$k = 4$

解题步骤 1.2

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向上。

开口向上

解题步骤 1.3

求顶点 $(h, k)$ 。

$(3, 4)$

解题步骤 1.4

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 1.4.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 1.4.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot 2}$

解题步骤 1.4.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{8}$

解题步骤 1.5

求焦点。

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解题步骤 1.5.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 1.5.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(3, \frac{33}{8})$

解题步骤 1.6

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$x = 3$

解题步骤 1.7

求准线。

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解题步骤 1.7.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 1.7.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{31}{8}$

解题步骤 1.8

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(3, 4)$

焦点： $(3, \frac{33}{8})$

对称轴： $x = 3$

准线： $y = \frac{31}{8}$

方向：开口向上

顶点： $(3, 4)$

焦点： $(3, \frac{33}{8})$

对称轴： $x = 3$

准线： $y = \frac{31}{8}$

解题步骤 2

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 22$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

通过指数相加将 $2$ 乘以 ${(2)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1

将 $2$ 乘以 ${(2)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1.1.1

对 $2$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 22$

解题步骤 2.2.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (2) = 2^{1 + 2} - 12 \cdot 2 + 22$

解题步骤 2.2.1.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (2) = 2^{3} - 12 \cdot 2 + 22$

解题步骤 2.2.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = 8 - 12 \cdot 2 + 22$

解题步骤 2.2.1.3

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 8 - 24 + 22$

解题步骤 2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $8$ 中减去 $24$ 。

$f (2) = - 16 + 22$

解题步骤 2.2.2.2

将 $- 16$ 和 $22$ 相加。

$f (2) = 6$

解题步骤 2.2.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 2.3

$y$ 在 $x = 2$ 处的值为 $6$ 。

$y = 6$

解题步骤 2.4

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 22$

解题步骤 2.5

化简结果。

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解题步骤 2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 2 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 22$

解题步骤 2.5.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 2 - 12 \cdot 1 + 22$

解题步骤 2.5.1.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 2 - 12 + 22$

解题步骤 2.5.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.5.2.1

从 $2$ 中减去 $12$ 。

$f (1) = - 10 + 22$

解题步骤 2.5.2.2

将 $- 10$ 和 $22$ 相加。

$f (1) = 12$

解题步骤 2.5.3

最终答案为 $12$ 。

$12$

解题步骤 2.6

$y$ 在 $x = 1$ 处的值为 $12$ 。

$y = 12$

解题步骤 2.7

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = 2 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 22$

解题步骤 2.8

化简结果。

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解题步骤 2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 2.8.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (4) = 2 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 22$

解题步骤 2.8.1.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$f (4) = 32 - 12 \cdot 4 + 22$

解题步骤 2.8.1.3

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$f (4) = 32 - 48 + 22$

解题步骤 2.8.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.8.2.1

从 $32$ 中减去 $48$ 。

$f (4) = - 16 + 22$

解题步骤 2.8.2.2

将 $- 16$ 和 $22$ 相加。

$f (4) = 6$

解题步骤 2.8.3

最终答案为 $6$ 。

$6$

解题步骤 2.9

$y$ 在 $x = 4$ 处的值为 $6$ 。

$y = 6$

解题步骤 2.10

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = 2 {(5)}^{2} - 12 \cdot 5 + 22$

解题步骤 2.11

化简结果。

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解题步骤 2.11.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = 2 \cdot 25 - 12 \cdot 5 + 22$

解题步骤 2.11.1.2

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$f (5) = 50 - 12 \cdot 5 + 22$

解题步骤 2.11.1.3

将 $- 12$ 乘以 $5$ 。

$f (5) = 50 - 60 + 22$

解题步骤 2.11.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.11.2.1

从 $50$ 中减去 $60$ 。

$f (5) = - 10 + 22$

解题步骤 2.11.2.2

将 $- 10$ 和 $22$ 相加。

$f (5) = 12$

解题步骤 2.11.3

最终答案为 $12$ 。

$12$

解题步骤 2.12

$y$ 在 $x = 5$ 处的值为 $12$ 。

$y = 12$

解题步骤 2.13

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 12 \\ 2 & 6 \\ 3 & 4 \\ 4 & 6 \\ 5 & 12 \end{array}$

解题步骤 3

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向上

顶点： $(3, 4)$

焦点： $(3, \frac{33}{8})$

对称轴： $x = 3$

准线： $y = \frac{31}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 12 \\ 2 & 6 \\ 3 & 4 \\ 4 & 6 \\ 5 & 12 \end{array}$

解题步骤 4

三角学 示例

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