三角学示例

$h (x) = \sin (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 1

使用 $a \sin (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 1$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{4}$

$d = 0$

解题步骤 2

求振幅 $| a |$ 。

振幅： $1$

解题步骤 3

求 $\sin (x + \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 3.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 4.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 4.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{- \frac{π}{4}}{1}$

解题步骤 4.3

用 $- \frac{π}{4}$ 除以 $1$ 。

相移： $- \frac{π}{4}$

解题步骤 5

列出三角函数的性质。

振幅： $1$

周期： $2 π$

相移：： $- \frac{π}{4}$ （ $\frac{π}{4}$ 向左移动）

垂直位移：无

解题步骤 6

选择某些点来画图。

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解题步骤 6.1

求在 $x = - \frac{π}{4}$ 处的点。

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解题步骤 6.1.1

使用表达式中的 $- \frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = \sin ((- \frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 6.1.2

化简结果。

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解题步骤 6.1.2.1

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{- π + π}{4})$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- π$ 和 $π$ 相加。

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{0}{4})$

解题步骤 6.1.2.3

用 $0$ 除以 $4$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (0)$

解题步骤 6.1.2.4

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (- \frac{π}{4}) = 0$

解题步骤 6.1.2.5

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.2

求在 $x = \frac{π}{4}$ 处的点。

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解题步骤 6.2.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \sin ((\frac{π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 6.2.2

化简结果。

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解题步骤 6.2.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π + π}{4})$

解题步骤 6.2.2.2

将 $π$ 和 $π$ 相加。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{2 π}{4})$

解题步骤 6.2.2.3

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.3.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{2 (π)}{4})$

解题步骤 6.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 6.2.2.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 6.2.2.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{π}{4}) = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.2.2.4

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{4}) = 1$

解题步骤 6.2.2.5

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 6.3

求在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处的点。

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解题步骤 6.3.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 6.3.2

化简结果。

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解题步骤 6.3.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π + π}{4})$

解题步骤 6.3.2.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{4 π}{4})$

解题步骤 6.3.2.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.3.1

约去公因数。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{4 π}{4})$

解题步骤 6.3.2.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (π)$

解题步骤 6.3.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (0)$

解题步骤 6.3.2.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

解题步骤 6.3.2.6

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.4

求在 $x = \frac{5 π}{4}$ 处的点。

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解题步骤 6.4.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin ((\frac{5 π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 6.4.2

化简结果。

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解题步骤 6.4.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{5 π + π}{4})$

解题步骤 6.4.2.2

将 $5 π$ 和 $π$ 相加。

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{6 π}{4})$

解题步骤 6.4.2.3

约去 $6$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.2.3.1

从 $6 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

解题步骤 6.4.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.4.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

解题步骤 6.4.2.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

解题步骤 6.4.2.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{5 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 6.4.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 6.4.2.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 6.4.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = - 1$

解题步骤 6.4.2.7

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 6.5

求在 $x = \frac{7 π}{4}$ 处的点。

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解题步骤 6.5.1

使用表达式中的 $\frac{7 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \sin ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 6.5.2

化简结果。

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解题步骤 6.5.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7 π}{4}) = \sin (\frac{7 π + π}{4})$

解题步骤 6.5.2.2

将 $7 π$ 和 $π$ 相加。

$f (\frac{7 π}{4}) = \sin (\frac{8 π}{4})$

解题步骤 6.5.2.3

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.3.1

从 $8 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \sin (\frac{4 (2 π)}{4})$

解题步骤 6.5.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 6.5.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \sin (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

解题步骤 6.5.2.3.2.2

约去公因数。

$f (\frac{7 π}{4}) = \sin (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

解题步骤 6.5.2.3.2.3

重写表达式。

$f (\frac{7 π}{4}) = \sin (\frac{2 π}{1})$

解题步骤 6.5.2.3.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \sin (2 π)$

解题步骤 6.5.2.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = \sin (0)$

解题步骤 6.5.2.5

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{7 π}{4}) = 0$

解题步骤 6.5.2.6

最终答案为 $0$ 。

$0$

解题步骤 6.6

列出表中的点。

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{π}{4} & 1 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{5 π}{4} & - 1 \\ \frac{7 π}{4} & 0 \end{array}$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

振幅： $1$

周期： $2 π$

相移：： $- \frac{π}{4}$ （ $\frac{π}{4}$ 向左移动）

垂直位移：无

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ - \frac{π}{4} & 0 \\ \frac{π}{4} & 1 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{5 π}{4} & - 1 \\ \frac{7 π}{4} & 0 \end{array}$

解题步骤 8

三角学 示例

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