三角学示例

$f (x) = 7 \csc (5 π x - \frac{1}{3} \cdot π)$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意 $y = \csc (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = n π$ ，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = c s c (x)$ 、 $(0, 2 π)$ 的基本周期，求 $y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ 的垂直渐近线。将余割函数的变量设为 $b x + c$ ，使得 $y = a \csc (b x + c) + d$ 等于 $0$ ，以求 $y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ 的垂直渐进线出现的坐标位置。

$5 π x - \frac{π}{3} = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{3}$ 。

$5 π x = \frac{π}{3}$

解题步骤 1.2.2

将 $5 π x = \frac{π}{3}$ 中的每一项除以 $5 π$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $5 π x = \frac{π}{3}$ 中的每一项都除以 $5 π$ 。

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

解题步骤 1.2.2.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

解题步骤 1.2.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

解题步骤 1.2.2.3.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.3.2.1

从 $5 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

解题步骤 1.2.2.3.2.2

约去公因数。

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

解题步骤 1.2.2.3.2.3

重写表达式。

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 1.2.2.3.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x = \frac{1}{3 \cdot 5}$

解题步骤 1.2.2.3.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{1}{15}$

解题步骤 1.3

将余割函数 $5 π x - \frac{π}{3}$ 的变量设为 $2 π$ 。

$5 π x - \frac{π}{3} = 2 π$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.4.1.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{3}$ 。

$5 π x = 2 π + \frac{π}{3}$

解题步骤 1.4.1.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$5 π x = 2 π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 1.4.1.3

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$5 π x = \frac{2 π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 1.4.1.4

在公分母上合并分子。

$5 π x = \frac{2 π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 1.4.1.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$5 π x = \frac{6 π + π}{3}$

解题步骤 1.4.1.5.2

将 $6 π$ 和 $π$ 相加。

$5 π x = \frac{7 π}{3}$

解题步骤 1.4.2

将 $5 π x = \frac{7 π}{3}$ 中的每一项除以 $5 π$ 并化简。

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解题步骤 1.4.2.1

将 $5 π x = \frac{7 π}{3}$ 中的每一项都除以 $5 π$ 。

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

解题步骤 1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 π x}{5 π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

解题步骤 1.4.2.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{7 π}{3}}{5 π}$

解题步骤 1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

解题步骤 1.4.2.3.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.3.2.1

从 $7 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

解题步骤 1.4.2.3.2.2

从 $5 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

解题步骤 1.4.2.3.2.3

约去公因数。

$x = \frac{π \cdot 7}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

解题步骤 1.4.2.3.2.4

重写表达式。

$x = \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 1.4.2.3.3

将 $\frac{7}{3}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

$x = \frac{7}{3 \cdot 5}$

解题步骤 1.4.2.3.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$x = \frac{7}{15}$

解题步骤 1.5

$y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ 的基期将出现在 $(\frac{1}{15}, \frac{7}{15})$ ，其中 $\frac{1}{15}$ 和 $\frac{7}{15}$ 为垂直渐近线。

$(\frac{1}{15}, \frac{7}{15})$

解题步骤 1.6

求周期 $\frac{2 π}{| b |}$ 以求出垂直渐近线出现的位置。垂直渐近线每半个周期出现一次。

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解题步骤 1.6.1

$5 π$ 约为 $15.70796326$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{5 π}$

解题步骤 1.6.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{5 π}$

解题步骤 1.6.2.2

重写表达式。

$\frac{2}{5}$

解题步骤 1.7

$y = 7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ 的垂直渐近线出现在 $\frac{1}{15}$ 、 $\frac{7}{15}$ 和每一个 $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ 处，其中 $n$ 是一个整数。这是周期的二分一。

$x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$

解题步骤 1.8

余割只有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ ，其中 $n$ 是一个整数

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 2

使用 $a \csc (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 7$

$b = 5 π$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

解题步骤 3

因为函数 $c s c$ 的图像没有最大值或最小值，所以不存在振幅值。

振幅：无

解题步骤 4

求 $7 \csc (5 π x - \frac{π}{3})$ 的周期。

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解题步骤 4.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2

使用周期公式中的 $5 π$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 5 π |}$

解题步骤 4.3

$5 π$ 约为 $15.70796326$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{5 π}$

解题步骤 4.4

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{5 π}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$\frac{2}{5}$

解题步骤 5

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 5.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 5.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{\frac{π}{3}}{5 π}$

解题步骤 5.3

将分子乘以分母的倒数。

相移： $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5 π}$

解题步骤 5.4

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $5 π$ 中分解出因数 $π$ 。

相移： $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

相移： $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{π \cdot 5}$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

相移： $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{5}$

解题步骤 5.5

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{5}$ 。

相移： $\frac{1}{3 \cdot 5}$

解题步骤 5.6

将 $3$ 乘以 $5$ 。

相移： $\frac{1}{15}$

解题步骤 6

列出三角函数的性质。

振幅：无

周期： $\frac{2}{5}$

相移： $\frac{1}{15}$ （ $\frac{1}{15}$ 向右移）

垂直位移：无

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

垂直渐近线： $x = \frac{1}{15} + \frac{n}{5}$ ，其中 $n$ 是一个整数

振幅：无

周期： $\frac{2}{5}$

相移： $\frac{1}{15}$ （ $\frac{1}{15}$ 向右移）

垂直位移：无

解题步骤 8

三角学 示例

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