三角学示例

$f (x) = 8 \csc (x + \frac{π}{2}) + 3$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意 $y = \csc (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = n π$ ，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = c s c (x)$ 、 $(0, 2 π)$ 的基本周期，求 $y = 8 \csc (x + \frac{π}{2}) + 3$ 的垂直渐近线。将余割函数的变量设为 $b x + c$ ，使得 $y = a \csc (b x + c) + d$ 等于 $0$ ，以求 $y = 8 \csc (x + \frac{π}{2}) + 3$ 的垂直渐进线出现的坐标位置。

$x + \frac{π}{2} = 0$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 $\frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.3

将余割函数 $x + \frac{π}{2}$ 的变量设为 $2 π$ 。

$x + \frac{π}{2} = 2 π$

解题步骤 1.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.4.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{2}$ 。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4.3

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.4.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 1.4.5.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.5

$y = 8 \csc (x + \frac{π}{2}) + 3$ 的基期将出现在 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ ，其中 $- \frac{π}{2}$ 和 $\frac{3 π}{2}$ 为垂直渐近线。

$(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$

解题步骤 1.6

求周期 $\frac{2 π}{| b |}$ 以求出垂直渐近线出现的位置。垂直渐近线每半个周期出现一次。

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解题步骤 1.6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.6.2

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.7

$y = 8 \csc (x + \frac{π}{2}) + 3$ 的垂直渐近线出现在 $- \frac{π}{2}$ 、 $\frac{3 π}{2}$ 和每一个 $x = - \frac{π}{2} + π n$ 处，其中 $n$ 是一个整数。这是周期的二分一。

$x = - \frac{π}{2} + π n$

解题步骤 1.8

余割只有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = - \frac{π}{2} + π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = - \frac{π}{2} + π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 2

使用 $a \csc (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 8$

$b = 1$

$c = - \frac{π}{2}$

$d = 3$

解题步骤 3

因为函数 $c s c$ 的图像没有最大值或最小值，所以不存在振幅值。

振幅：无

解题步骤 4

使用公式 $\frac{2 π}{| b |}$ 求周期。

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解题步骤 4.1

求 $8 \csc (x + \frac{π}{2})$ 的周期。

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解题步骤 4.1.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.1.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.1.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2

求 $3$ 的周期。

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解题步骤 4.2.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.3

三角函数加、减后的周期是每一函数周期的最大值。

$2 π$

解题步骤 5

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 5.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 5.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{- \frac{π}{2}}{1}$

解题步骤 5.3

用 $- \frac{π}{2}$ 除以 $1$ 。

相移： $- \frac{π}{2}$

解题步骤 6

列出三角函数的性质。

振幅：无

周期： $2 π$

相移：： $- \frac{π}{2}$ （ $\frac{π}{2}$ 向左移动）

垂直位移： $3$

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

垂直渐近线： $x = - \frac{π}{2} + π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

振幅：无

周期： $2 π$

相移：： $- \frac{π}{2}$ （ $\frac{π}{2}$ 向左移动）

垂直位移： $3$

解题步骤 8

三角学 示例

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