三角学示例

$f (x) = 6 | \cot (\frac{π}{12} x) |$

解题步骤 1

求绝对值的顶点。在本例中， $y = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ 的顶点是 $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ 。

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解题步骤 1.1

要求顶点的 $x$ 坐标，请将绝对值 $\cot (\frac{π x}{12})$ 的内部设为等于 $0$ 。在本例中，即 $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ 。

$\cot (\frac{π x}{12}) = 0$

解题步骤 1.2

求解方程 $\cot (\frac{π x}{12}) = 0$ 以求出绝对值顶点的 $x$ 坐标。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$\frac{π x}{12} = arccot (0)$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π x}{12} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3

等式两边同时乘以 $\frac{12}{π}$ 。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.1.1

化简 $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1.1.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

化简 $\frac{12}{π} \cdot \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.1.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.1.3

重写表达式。

$x = \frac{6}{π} π$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.2.1

约去公因数。

$x = \frac{6}{π} π$

解题步骤 1.2.4.2.1.2.2

重写表达式。

$x = 6$

解题步骤 1.2.5

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$\frac{π x}{12} = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

等式两边同时乘以 $\frac{12}{π}$ 。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1

化简 $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1

化简 $\frac{12}{π} (π + \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{12}{π} (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{12}{π} (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{12}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.3.1

从 $12$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = \frac{2 (6)}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.3.2

约去公因数。

$x = \frac{2 \cdot 6}{π} \cdot \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2.3.3

重写表达式。

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 2 + π)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.3

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{6}{π} (2 π + π)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.4

化简项。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.4.1

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{6}{π} (3 π)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.4.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.4.2.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.4.2.2

约去公因数。

$x = \frac{6}{π} (π \cdot 3)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.4.2.3

重写表达式。

$x = 6 \cdot 3$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.4.3

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$x = 18$

解题步骤 1.2.7

求 $\cot (\frac{π x}{12})$ 的周期。

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解题步骤 1.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.7.2

使用周期公式中的 $\frac{π}{12}$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| \frac{π}{12} |}$

解题步骤 1.2.7.3

$\frac{π}{12}$ 约为 $0.26179938$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{π}{\frac{π}{12}}$

解题步骤 1.2.7.4

将分子乘以分母的倒数。

$π \frac{12}{π}$

解题步骤 1.2.7.5

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.5.1

约去公因数。

$π \frac{12}{π}$

解题步骤 1.2.7.5.2

重写表达式。

$12$

解题步骤 1.2.8

$\cot (\frac{π x}{12})$ 函数的周期为 $12$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $12$ 弧度将重复出现。

$x = 6 + 12 n, 18 + 12 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.9

合并答案。

$x = 6 + 12 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

使用表达式中的 $6 + 12 n$ 替换变量 $x$ 。

$y = 6 | \cot (\frac{π (6 + 12 n)}{12}) |$

解题步骤 1.4

约去 $6 + 12 n$ 和 $12$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1

从 $π (6 + 12 n)$ 中分解出因数 $6$ 。

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{12}) |$

解题步骤 1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $12$ 中分解出因数 $6$ 。

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 (2)}) |$

解题步骤 1.4.2.2

约去公因数。

$y = 6 | \cot (\frac{6 (π (1 + 2 n))}{6 \cdot 2}) |$

解题步骤 1.4.2.3

重写表达式。

$y = 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

解题步骤 1.5

绝对值顶点为 $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ 。

$(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

解题步骤 2

求 $f (x) = 6 | \cot (\frac{π x}{12}) |$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\cot (\frac{π x}{12})$ 的自变量设为等于 $π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\frac{π x}{12} = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.1

等式两边同时乘以 $\frac{12}{π}$ 。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

解题步骤 2.2.2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1.1

化简 $\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{12}{π} \cdot \frac{π x}{12} = \frac{12}{π} (π n)$

解题步骤 2.2.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{12}{π} (π n)$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{12}{π} (π n)$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{12}{π} (π n)$

解题步骤 2.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.2.1.1

从 $π n$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{12}{π} (π (n))$

解题步骤 2.2.2.2.1.2

约去公因数。

$x = \frac{12}{π} (π n)$

解题步骤 2.2.2.2.1.3

重写表达式。

$x = 12 n$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x \neq 12 n}$ ，对于任意整数 $n$

集合符号：

${x | x \neq 12 n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

可以利用顶点附近的点 $(6 + 12 n, 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 6 + 12 n & 6 | \cot (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

解题步骤 4

三角学 示例

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