三角学示例

$f (x) = \frac{- 2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $- \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} - \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ 以求水平渐近线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

简化。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 重写成 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2}$

解题步骤 3.1.2

从 $2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{2} + 2$ 。

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 2}$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.3.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 3.1.3.4

用 $2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} - (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 3.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.4

将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 3.5

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = \sqrt{x^{2}}$ 。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.6

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

约去 $x$ 的公因数。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.6.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.2.1

约去公因数。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.6.2.2

重写表达式。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.6.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.6.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.6.5

将极限移入根号内。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.6.6

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.6.7

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.6.8

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 3.7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

解题步骤 3.8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 3.8.1.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

解题步骤 3.8.1.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- 2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.8.2

约去 $1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.8.2.1

约去公因数。

$- 2 (\frac{1}{1})$

解题步骤 3.8.2.2

重写表达式。

$- 2 \cdot 1$

解题步骤 3.8.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2$

解题步骤 4

计算 $lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ 以求水平渐近线。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

简化。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 重写成 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2}$

解题步骤 4.1.2

从 $2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $x^{2} + 2$ 。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 2}$

解题步骤 4.1.3

约去公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

解题步骤 4.1.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 4.1.3.4

用 $2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to - \infty} - (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 4.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.4

将 ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{x^{2} + 2}$ 。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

解题步骤 4.5

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $x = - \sqrt{x^{2}}$ 。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.6

计算极限值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.1

约去 $x$ 的公因数。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.6.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.6.2.1

约去公因数。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.6.2.2

重写表达式。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.6.3

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.6.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.6.5

因为项 $- 1$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.6.6

将极限移入根号内。

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.6.7

当 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.6.8

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- \infty$ 时此极限值为常数。

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.6.9

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

解题步骤 4.7

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{2}}$ 趋于 $0$ 。

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

解题步骤 4.8

化简答案。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.8.1

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.8.1.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- 2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

解题步骤 4.8.1.2

将负号移到分数的前面。

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}})$

解题步骤 4.8.2

化简分母。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.8.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

解题步骤 4.8.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

解题步骤 4.8.2.3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$- 2 (- \frac{1}{1})$

解题步骤 4.8.3

约去 $1$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.8.3.1

约去公因数。

$- 2 (- \frac{1}{1})$

解题步骤 4.8.3.2

重写表达式。

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 4.8.4

乘以 $- 2 (- 1 \cdot 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.8.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \cdot - 1$

解题步骤 4.8.4.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2$

解题步骤 5

列出水平渐近线：

$y = - 2, 2$

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = - 2, 2$

无法求斜渐近线

解题步骤 8

三角学 示例

三角学示例