三角学示例

$f (x) = | 2 \cos (\frac{π x}{2}) |$

解题步骤 1

求绝对值的顶点。在本例中， $y = 2 | \cos (\frac{π x}{2}) |$ 的顶点是 $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ 。

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解题步骤 1.1

要求顶点的 $x$ 坐标，请将绝对值 $\cos (\frac{π x}{2})$ 的内部设为等于 $0$ 。在本例中，即 $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ 。

$\cos (\frac{π x}{2}) = 0$

解题步骤 1.2

求解方程 $\cos (\frac{π x}{2}) = 0$ 以求出绝对值顶点的 $x$ 坐标。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{π x}{2} = \arccos (0)$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$π x = π$

解题步骤 1.2.4

将 $π x = π$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $π x = π$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

解题步骤 1.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{π}{π}$

解题步骤 1.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.3.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.3.1.1

约去公因数。

$x = \frac{π}{π}$

解题步骤 1.2.4.3.1.2

重写表达式。

$x = 1$

解题步骤 1.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{π x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

等式两边同时乘以 $\frac{2}{π}$ 。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1

化简 $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.2.1

从 $π x$ 中分解出因数 $π$ 。

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1

化简 $\frac{2}{π} (2 π - \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2}{π} (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2}{π} (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.3

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.4.1

约去公因数。

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.4.2

重写表达式。

$x = \frac{1}{π} (2 π \cdot 2 - π)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{1}{π} (4 π - π)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.6

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{1}{π} (3 π)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.7

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1.7.1

从 $3 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.7.2

约去公因数。

$x = \frac{1}{π} (π \cdot 3)$

解题步骤 1.2.6.2.2.1.7.3

重写表达式。

$x = 3$

解题步骤 1.2.7

求 $\cos (\frac{π x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 1.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.7.2

使用周期公式中的 $\frac{π}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{π}{2} |}$

解题步骤 1.2.7.3

$\frac{π}{2}$ 约为 $1.57079632$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{π}{2}}$

解题步骤 1.2.7.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \frac{2}{π}$

解题步骤 1.2.7.5

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.5.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $π$ 。

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

解题步骤 1.2.7.5.2

约去公因数。

$π \cdot 2 \frac{2}{π}$

解题步骤 1.2.7.5.3

重写表达式。

$2 \cdot 2$

解题步骤 1.2.7.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4$

解题步骤 1.2.8

$\cos (\frac{π x}{2})$ 函数的周期为 $4$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4$ 弧度将重复出现。

$x = 1 + 4 n, 3 + 4 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.9

合并答案。

$x = 1 + 2 n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

使用表达式中的 $1 + 2 n$ 替换变量 $x$ 。

$y = 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |$

解题步骤 1.4

绝对值顶点为 $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$ 。

$(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |)$

解题步骤 2

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 3

可以利用顶点附近的点 $(1 + 2 n, 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) |),$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 + 2 n & 2 | \cos (\frac{π (1 + 2 n)}{2}) | \end{array}$

解题步骤 4

三角学 示例

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