三角学示例

$f (x) = - | \ln (x - 3) |$

解题步骤 1

求绝对值的顶点。在本例中， $y = - | \ln (x - 3) |$ 的顶点是 $(4, 0)$ 。

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解题步骤 1.1

要求顶点的 $x$ 坐标，请将绝对值 $\ln (x - 3)$ 的内部设为等于 $0$ 。在本例中，即 $\ln (x - 3) = 0$ 。

$\ln (x - 3) = 0$

解题步骤 1.2

求解方程 $\ln (x - 3) = 0$ 以求出绝对值顶点的 $x$ 坐标。

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解题步骤 1.2.1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x - 3)} = e^{0}$

解题步骤 1.2.2

使用对数的定义将 $\ln (x - 3) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = x - 3$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将方程重写为 $x - 3 = e^{0}$ 。

$x - 3 = e^{0}$

解题步骤 1.2.3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x - 3 = 1$

解题步骤 1.2.3.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 1 + 3$

解题步骤 1.2.3.3.2

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x = 4$

解题步骤 1.3

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$y = - | \ln ((4) - 3) |$

解题步骤 1.4

化简 $- | \ln ((4) - 3) |$ 。

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解题步骤 1.4.1

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$y = - | \ln (1) |$

解题步骤 1.4.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$y = - | 0 |$

解题步骤 1.4.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$y = - 0$

解题步骤 1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.5

绝对值顶点为 $(4, 0)$ 。

$(4, 0)$

解题步骤 2

求 $f (x) = - | \ln (x - 3) |$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (x - 3)$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 3 > 0$

解题步骤 2.2

在不等式两边同时加上 $3$ 。

$x > 3$

解题步骤 2.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(3, \infty)$

集合符号：

${x | x > 3}$

区间计数法：

$(3, \infty)$

集合符号：

${x | x > 3}$

解题步骤 3

对于每一个 $x$ 值，都有一个 $y$ 值。从定义域中选择几个 $x$ 值。选择绝对值顶点附近的 $x$ 值将更加有用。

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解题步骤 3.1

将 $x$ 的值 $5$ 代入 $f (x) = - | \ln (x - 3) |$ 。在本例中，该点为 $(5, - \ln (2))$ 。

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解题步骤 3.1.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = - | \ln ((5) - 3) |$

解题步骤 3.1.2

化简结果。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$f (5) = - | \ln (2) |$

解题步骤 3.1.2.2

$\ln (2)$ 约为 $0.69314718$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$f (5) = - \ln (2)$

解题步骤 3.1.2.3

最终答案为 $- \ln (2)$ 。

$y = - \ln (2)$

解题步骤 3.2

将 $x$ 的值 $6$ 代入 $f (x) = - | \ln (x - 3) |$ 。在本例中，该点为 $(6, - \ln (3))$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = - | \ln ((6) - 3) |$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $6$ 中减去 $3$ 。

$f (6) = - | \ln (3) |$

解题步骤 3.2.2.2

$\ln (3)$ 约为 $1.09861228$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$f (6) = - \ln (3)$

解题步骤 3.2.2.3

最终答案为 $- \ln (3)$ 。

$y = - \ln (3)$

解题步骤 3.3

可以利用顶点附近的点 $(4, 0), (5, - 0.69), (6, - 1.1)$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & - 0.69 \\ 6 & - 1.1 \end{array}$

解题步骤 4

三角学 示例

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