三角学示例

$f (x) = | \cot (x) - 2 |$

解题步骤 1

求绝对值的顶点。在本例中， $y = | \cot (x) - 2 |$ 的顶点是 $(0.4636476 + π n, | \cot (0.4636476 + π n) - 2 |)$ 。

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解题步骤 1.1

要求顶点的 $x$ 坐标，请将绝对值 $\cot (x) - 2$ 的内部设为等于 $0$ 。在本例中，即 $\cot (x) - 2 = 0$ 。

$\cot (x) - 2 = 0$

解题步骤 1.2

求解方程 $\cot (x) - 2 = 0$ 以求出绝对值顶点的 $x$ 坐标。

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解题步骤 1.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\cot (x) = 2$

解题步骤 1.2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (2)$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

计算 $arccot (2)$ 。

$x = 0.4636476$

解题步骤 1.2.4

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

解题步骤 1.2.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

解题步骤 1.2.5.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

解题步骤 1.2.5.3

将 $3.14159265$ 和 $0.4636476$ 相加。

$x = 3.60524026$

解题步骤 1.2.6

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.7

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.8

将 $0.4636476 + π n$ 和 $3.60524026 + π n$ 合并为 $0.4636476 + π n$ 。

$x = 0.4636476 + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

使用表达式中的 $0.4636476 + π n$ 替换变量 $x$ 。

$y = | \cot (0.4636476 + π n) - 2 |$

解题步骤 1.4

绝对值顶点为 $(0.4636476 + π n, | \cot (0.4636476 + π n) - 2 |)$ 。

$(0.4636476 + π n, | \cot (0.4636476 + π n) - 2 |)$

解题步骤 2

求 $f (x) = | \cot (x) - 2 |$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\cot (x)$ 的自变量设为等于 $π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x \neq π n}$ ，对于任意整数 $n$

集合符号：

${x | x \neq π n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

可以利用顶点附近的点 $(, | \cot (0.4636476 + π n) - 2 |),$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ N a N \end{array}$

解题步骤 4

三角学 示例

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