三角学示例

$\cos (\arctan (x))$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算 $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

简化。

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解题步骤 3.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + x^{2}}$ 重写成 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 3.1.2

从 ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 3.1.3

约去公因数。

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解题步骤 3.1.3.1

乘以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 1}$

解题步骤 3.1.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

解题步骤 3.1.3.4

用 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to \infty} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 3.1.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 3.2

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 趋于 $0$ 。

$0$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

$y = 0$

解题步骤 5

使用多项式除法求斜渐近线。因为该表达式含有一个根号，所以无法进行多项式除法。

无法求斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线： $y = 0$

无法求斜渐近线

解题步骤 7

三角学 示例

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