三角学示例

$\log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$

解题步骤 1

求 $y = \log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$ 的定义域，进而从中挑出一系列 $x$ 值来描点画图。这将帮助我们画出根的图像。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

将 $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ 中的参数设为大于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1} > 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

交叉相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.1

通过将右边分子和左边分母的乘积设为等于左边分子和右边分母的乘积来进行交叉相乘。

$0 \cdot (x - 1) > 81 \sqrt{x - 1}$

解题步骤 1.2.1.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1.2.1

将 $0$ 乘以 $x - 1$ 。

$0 > 81 \sqrt{x - 1}$

解题步骤 1.2.2

重写为 $81 \sqrt{x - 1}$ 在不等式左边的形式。

$81 \sqrt{x - 1} < 0$

解题步骤 1.2.3

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${(81 \sqrt{x - 1})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 1.2.4

化简不等式的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 1.2.4.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.1

化简 ${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.1.1

对 $81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$81^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

对 $81$ 进行 $2$ 次方运算。

$6561 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3

将 ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2.1

约去公因数。

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.3.2.2

重写表达式。

$6561 {(x - 1)}^{1} < 0^{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.4

化简。

$6561 (x - 1) < 0^{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.5

运用分配律。

$6561 x + 6561 \cdot - 1 < 0^{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.6

将 $6561$ 乘以 $- 1$ 。

$6561 x - 6561 < 0^{2}$

解题步骤 1.2.4.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.4.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$6561 x - 6561 < 0$

解题步骤 1.2.5

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.1

在不等式两边同时加上 $6561$ 。

$6561 x < 6561$

解题步骤 1.2.5.2

将 $6561 x < 6561$ 中的每一项除以 $6561$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.1

将 $6561 x < 6561$ 中的每一项都除以 $6561$ 。

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

解题步骤 1.2.5.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.2.1

约去 $6561$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

解题步骤 1.2.5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{6561}{6561}$

解题步骤 1.2.5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.5.2.3.1

用 $6561$ 除以 $6561$ 。

$x < 1$

解题步骤 1.2.6

求 $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.6.1

将 $\sqrt{x - 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 1 \geq 0$

解题步骤 1.2.6.2

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$x \geq 1$

解题步骤 1.2.6.3

将 $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.6.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.6.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(1, \infty)$

解题步骤 1.2.7

解由使等式成立的所有区间组成。

$x > 1$

解题步骤 1.3

将 $\sqrt{x - 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x - 1 \geq 0$

解题步骤 1.4

在不等式两边同时加上 $1$ 。

$x \geq 1$

解题步骤 1.5

将 $\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.6

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.7

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(1, \infty)$

集合符号：

${x | x > 1}$

区间计数法：

$(1, \infty)$

集合符号：

${x | x > 1}$

解题步骤 2

要求根式端点，请将 $x$ 值 $1$ 代入 $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ ，即定义域中的最小值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{(1) - 1})$

解题步骤 2.2

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{0})$

解题步骤 2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

$f (1) = Undefined$

无定义

解题步骤 3

根式表达式的端点为 $(1, Undefined)$ 。

$(1, Undefined)$

解题步骤 4

选取定义域中的几个 $x$ 值。选取紧邻根式端点的 $x$ 值会更有帮助。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $2$ 代入 $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ 。在本例中，该点为 $(2, 4)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(2) - 1}}{(2) - 1})$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{1}}{2 - 1})$

解题步骤 4.1.2.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{2 - 1})$

解题步骤 4.1.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.2.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{1})$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $81$ 乘以 $1$ 。

$f (2) = \log_{3} (\frac{81}{1})$

解题步骤 4.1.2.3

$\frac{81}{1}$ 的对数底 $3$ 的值为 $4$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.3.1

重写为方程。

$\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$

解题步骤 4.1.2.3.2

利用对数的定义将 $\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ 不等于 $1$ ，那么 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$3^{x} = \frac{81}{1}$

解题步骤 4.1.2.3.3

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{x} = 3^{4}$

解题步骤 4.1.2.3.4

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 4$

解题步骤 4.1.2.3.5

变量 $x$ 等于 $4$ 。

$f (2) = 4$

解题步骤 4.1.2.4

最终答案为 $4$ 。

$y = 4$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $3$ 代入 $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ 。在本例中，该点为 $(3, \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2}))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(3) - 1}}{(3) - 1})$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{3 - 1})$

解题步骤 4.2.2.2

从 $3$ 中减去 $1$ 。

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 4.2.2.3

最终答案为 $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$ 。

$y = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

解题步骤 4.3

平方根可以使用顶点周围的点 $(1, Undefined), (2, 4), (3, 3.68)$ 来画出其图像

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 4 \\ 3 & 3.68 \end{array}$

解题步骤 5

三角学 示例

三角学示例