三角学示例

${(x + 1)}^{2} + {(v - 4)}^{2} = {(x + 3)}^{2}$

解题步骤 1

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 ${(v - 4)}^{2}$ 。

${(x + 1)}^{2} = {(x + 3)}^{2} - {(v - 4)}^{2}$

解题步骤 1.2

从等式两边同时减去 ${(x + 3)}^{2}$ 。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - {(v - 4)}^{2}$

解题步骤 1.3

化简 $- {(v - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1

将 ${(v - 4)}^{2}$ 重写为 $(v - 4) (v - 4)$ 。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - ((v - 4) (v - 4))$

解题步骤 1.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(v - 4) (v - 4)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

运用分配律。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v (v - 4) - 4 (v - 4))$

解题步骤 1.3.2.2

运用分配律。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 (v - 4))$

解题步骤 1.3.2.3

运用分配律。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v \cdot v + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.3.1.1

将 $v$ 乘以 $v$ 。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} + v \cdot - 4 - 4 v - 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.3.3.1.2

将 $- 4$ 移到 $v$ 的左侧。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 \cdot v - 4 v - 4 \cdot - 4)$

解题步骤 1.3.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 4 v - 4 v + 16)$

解题步骤 1.3.3.2

从 $- 4 v$ 中减去 $4 v$ 。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - (v^{2} - 8 v + 16)$

解题步骤 1.3.4

运用分配律。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} - (- 8 v) - 1 \cdot 16$

解题步骤 1.3.5

化简。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $- 8$ 乘以 $- 1$ 。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 1 \cdot 16$

解题步骤 1.3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} = - v^{2} + 8 v - 16$

解题步骤 1.4

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 1.4.1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.4.1.1

在等式两边都加上 $v^{2}$ 。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} = 8 v - 16$

解题步骤 1.4.1.2

从等式两边同时减去 $8 v$ 。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v = - 16$

解题步骤 1.4.1.3

在等式两边都加上 $16$ 。

${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2

化简 ${(x + 1)}^{2} - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$(x + 1) (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.4.2.1.2.1

运用分配律。

$x (x + 1) + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.2.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.2.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + x + x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$x^{2} + 2 x + 1 - {(x + 3)}^{2} + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.4

将 ${(x + 3)}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x + 3)$ 。

$x^{2} + 2 x + 1 - ((x + 3) (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x + 3)$ 。

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解题步骤 1.4.2.1.5.1

运用分配律。

$x^{2} + 2 x + 1 - (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.5.2

运用分配律。

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.5.3

运用分配律。

$x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.2.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.1.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.6.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.6.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.6.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} + 6 x + 9) + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.7

运用分配律。

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - (6 x) - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.8

化简。

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解题步骤 1.4.2.1.8.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 1 \cdot 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.2

合并 $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16$ 中相反的项。

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解题步骤 1.4.2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$2 x + 1 + 0 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$2 x + 1 - 6 x - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.3

从 $2 x$ 中减去 $6 x$ 。

$- 4 x + 1 - 9 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.4

从 $1$ 中减去 $9$ 。

$- 4 x - 8 + v^{2} - 8 v + 16 = 0$

解题步骤 1.4.2.5

将 $- 8$ 和 $16$ 相加。

$- 4 x + v^{2} - 8 v + 8 = 0$

解题步骤 1.5

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.5.1

从等式两边同时减去 $v^{2}$ 。

$- 4 x - 8 v + 8 = - v^{2}$

解题步骤 1.5.2

在等式两边都加上 $8 v$ 。

$- 4 x + 8 = - v^{2} + 8 v$

解题步骤 1.5.3

从等式两边同时减去 $8$ 。

$- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$

解题步骤 1.6

将 $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 4 x = - v^{2} + 8 v - 8$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.6.2

化简左边。

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解题步骤 1.6.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.6.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- v^{2}}{- 4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.6.3

化简右边。

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解题步骤 1.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.3.1.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{8 v}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.6.3.1.2

约去 $8$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.3.1.2.1

从 $8 v$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{v^{2}}{4} + \frac{4 (2 v)}{- 4} + \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.6.3.1.2.2

移动 $\frac{2 v}{- 1}$ 中分母的负号。

$x = \frac{v^{2}}{4} - 1 \cdot (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.6.3.1.3

将 $- 1 \cdot (2 v)$ 重写为 $- (2 v)$ 。

$x = \frac{v^{2}}{4} - (2 v) + \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.6.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + \frac{- 8}{- 4}$

解题步骤 1.6.3.1.5

用 $- 8$ 除以 $- 4$ 。

$x = \frac{v^{2}}{4} - 2 v + 2$

解题步骤 2

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 2.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 2.1.1

对 $- v^{2} + 8 v - 16$ 进行配方。

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解题步骤 2.1.1.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = 8$

$c = - 16$

解题步骤 2.1.1.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.1.1.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{8}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.1.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1

约去 $8$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.3.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.1.3.2.1.2

移动 $\frac{4}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot 4$

解题步骤 2.1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$d = - 4$

解题步骤 2.1.1.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.1.1.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - 16 - \frac{8^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.4.2.1.1

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - 16 - \frac{64}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = - 16 - \frac{64}{- 4}$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.3

用 $64$ 除以 $- 4$ 。

$e = - 16 - - 16$

解题步骤 2.1.1.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$e = - 16 + 16$

解题步骤 2.1.1.4.2.2

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

$e = 0$

解题步骤 2.1.1.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(v - 4)}^{2} + 0$ 。

$- {(v - 4)}^{2} + 0$

解题步骤 2.1.2

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - {(v - 4)}^{2} + 0$

解题步骤 2.2

使用顶点式 $y = a {(v - h)}^{2} + k$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = - 1$

$h = 4$

$k = 0$

解题步骤 2.3

因为 $a$ 的值是负数，所以该抛物线开口向下。

开口向下

解题步骤 2.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(4, 0)$

解题步骤 2.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 2.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 2.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.3

约去 $1$ 和 $- 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 2.5.3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 2.6

求焦点。

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解题步骤 2.6.1

如果抛物线开口向上或向下，则可通过让 $p$ 加上 y 轴坐标 $k$ 求得抛物线的焦点。

$(h, k + p)$

解题步骤 2.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(4, - \frac{1}{4})$

解题步骤 2.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$v = 4$

解题步骤 2.8

求准线。

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解题步骤 2.8.1

如果抛物线开口向上或向下，那么抛物线的准线为通过从顶点的 y 坐标 $k$ 减去 $p$ 求得的水平线。

$y = k - p$

解题步骤 2.8.2

将 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$y = \frac{1}{4}$

解题步骤 2.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向下

顶点： $(4, 0)$

焦点： $(4, - \frac{1}{4})$

对称轴： $v = 4$

准线： $y = \frac{1}{4}$

方向：开口向下

顶点： $(4, 0)$

焦点： $(4, - \frac{1}{4})$

对称轴： $v = 4$

准线： $y = \frac{1}{4}$

解题步骤 3

三角学 示例

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