三角学示例

$y = \tan (x) | \cos (x) |$

解题步骤 1

求绝对值的顶点。在本例中， $y = | \cos (x) | \tan (x)$ 的顶点是 $(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n))$ 。

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解题步骤 1.1

要求顶点的 $x$ 坐标，请将绝对值 $\cos (x)$ 的内部设为等于 $0$ 。在本例中，即 $\cos (x) = 0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 1.2

求解方程 $\cos (x) = 0$ 以求出绝对值顶点的 $x$ 坐标。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 1.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.7

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

使用表达式中的 $\frac{π}{2} + π n$ 替换变量 $x$ 。

$y = | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 1.4

化简 $| \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)$ 。

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解题步骤 1.4.1

将 $\tan (\frac{π}{2} + π n)$ 重写为正弦和余弦形式。

$y = | \cos (\frac{π}{2} + π n) | (\frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)})$

解题步骤 1.4.2

组合 $| \cos (\frac{π}{2} + π n) |$ 和 $\frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$ 。

$y = \frac{| \cos (\frac{π}{2} + π n) | \sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$

解题步骤 1.4.3

分离分数。

$y = \frac{| \cos (\frac{π}{2} + π n) |}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$

解题步骤 1.4.4

将 $\frac{\sin (\frac{π}{2} + π n)}{\cos (\frac{π}{2} + π n)}$ 转换成 $\tan (\frac{π}{2} + π n)$ 。

$y = \frac{| \cos (\frac{π}{2} + π n) |}{1} \cdot \tan (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 1.4.5

用 $| \cos (\frac{π}{2} + π n) |$ 除以 $1$ 。

$y = | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)$

解题步骤 1.5

绝对值顶点为 $(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n))$ 。

$(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n))$

解题步骤 2

求 $y = | \cos (x) | \tan (x)$ 的定义域，以便挑出一组 $x$ 值来求点列表，这样有助于我们画出绝对值函数的图像。

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解题步骤 2.1

将 $\tan (x)$ 的自变量设为等于 $\frac{π}{2} + π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ ，对于任意整数 $n$

集合符号：

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

可以利用顶点附近的点 $(\frac{π}{2} + π n, | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n)),$ 画出绝对值的图像

$\begin{array}{c} x & y \\ \frac{π}{2} + π n & | \cos (\frac{π}{2} + π n) | \tan (\frac{π}{2} + π n) \end{array}$

解题步骤 4

三角学 示例

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