三角学示例

$\frac{16}{y + 2} - \frac{7 y}{y^{2} - 7}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ 无定义。

$y = - \sqrt{7}, y = - 2, y = \sqrt{7}$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ 时， $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $y$ $\to$ $- \sqrt{7}$ 时， $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $y = - \sqrt{7}$ 是一条垂直渐近线。

$y = - \sqrt{7}$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $y$ $\to$ $- 2$ 时， $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $y$ $\to$ $- 2$ 时， $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $y = - 2$ 是一条垂直渐近线。

$y = - 2$

解题步骤 4

由于从左侧，当 $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ 时， $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $\infty$ ，且从右侧，当 $y$ $\to$ $\sqrt{7}$ 时， $\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ $\to$ $- \infty$ ，因此 $y = \sqrt{7}$ 是一条垂直渐近线。

$y = \sqrt{7}$

解题步骤 5

列出所有垂直渐近线：

$y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

解题步骤 6

$x = \frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$ 是一个直线方程，即不存在水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 7

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 7.1

化简分母。

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解题步骤 7.1.1

重新排序项。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

解题步骤 7.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y^{3} + 2 y^{2}) - 7 y - 14}$

解题步骤 7.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{2} (y + 2) - 7 (y + 2)}$

解题步骤 7.1.3

通过因式分解出最大公因数 $y + 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{(y + 2) (y^{2} - 7)}$

解题步骤 7.2

展开 $(y + 2) (y^{2} - 7)$ 。

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解题步骤 7.2.1

运用分配律。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y (y^{2} - 7) + 2 (y^{2} - 7)}$

解题步骤 7.2.2

运用分配律。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 (y^{2} - 7)}$

解题步骤 7.2.3

运用分配律。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} + y \cdot - 7 + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

解题步骤 7.2.4

将 $y$ 和 $- 7$ 重新排序。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

解题步骤 7.2.5

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y \cdot y^{2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

解题步骤 7.2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{1 + 2} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

解题步骤 7.2.7

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} + 2 \cdot - 7}$

解题步骤 7.2.8

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} - 7 y + 2 y^{2} - 14}$

解题步骤 7.2.9

移动 $- 7 y$ 。

$\frac{9 y^{2} - 14 y - 112}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

解题步骤 7.3

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$y^{3}$

$2 y^{2}$

$7 y$

$14$

$9 y^{2}$

$14 y$

$112$

解题步骤 7.4

最终答案为商加上余数除以除数。

$0 + \frac{y^{3} + 11 y^{2} - 21 y - 126}{y^{3} + 2 y^{2} - 7 y - 14}$

解题步骤 7.5

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = 0$

解题步骤 8

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $y = - \sqrt{7}, - 2, \sqrt{7}$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = 0$

解题步骤 9

三角学 示例

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