三角学示例

x e^{- x}

$x e^{- x}$

解题步骤 1

求在何处表达式

x e^{- x}

$x e^{- x}$ 无定义。

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

计算

lim x \to \infty x e^{- x}

$lim_{x \to \infty} x e^{- x}$ 以求水平渐近线。

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解题步骤 3.1

将

x e^{- x}

$x e^{- x}$ 重写为

\frac{x}{e^{x}}

$\frac{x}{e^{x}}$ 。

lim x \to \infty \frac{x}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}}$

解题步骤 3.2

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.2.1.1

取分子和分母极限值。

\frac{lim x \to \infty x}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 3.2.1.2

首项系数为正数的多项式在无穷远处的极限为无穷大。

\frac{\infty}{lim x \to \infty e^{x}}

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}$

解题步骤 3.2.1.3

因为指数

x

$x$ 趋于

\infty

$\infty$ ，所以数量

e^{x}

$e^{x}$ 趋于

\infty

$\infty$ 。

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.2.1.4

无穷大除以无穷大无意义。

无定义

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$

解题步骤 3.2.2

因为

\frac{\infty}{\infty}

$\frac{\infty}{\infty}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

lim x \to \infty \frac{x}{e^{x}} = lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.2.3.1

对分子和分母进行求导。

lim x \to \infty \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 1

$n = 1$ 。

lim x \to \infty \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

解题步骤 3.2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [a^{x}]

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于

a^{x} ln (a)

$a^{x} \ln (a)$ ，其中

a

$a$ =

e

$e$ 。

lim x \to \infty \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim x \to \infty \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

lim x \to \infty \frac{1}{e^{x}}

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}}$

解题步骤 3.3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数

\frac{1}{e^{x}}

$\frac{1}{e^{x}}$ 趋于

0

$0$ 。

0

$0$

0

$0$

解题步骤 4

列出水平渐近线：

y = 0

$y = 0$

解题步骤 5

因为分子的次数小于或等于分母的次数，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 6

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

水平渐近线：

y = 0

$y = 0$

不存在斜渐近线

解题步骤 7

三角学 示例

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