三角学示例

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{e^{x^{2}}}} - 1$

解题步骤 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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解题步骤 1.1

将 $\sqrt{e^{x^{2}}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$e^{x^{2}} \geq 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x^{2}}) \geq \ln (0)$

解题步骤 1.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 1.2.3

$e^{x^{2}} \geq 0$ 无解

无解

解题步骤 1.3

将 $\frac{1}{\sqrt{e^{x^{2}}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{e^{x^{2}}} = 0$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{e^{x^{2}}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e^{x^{2}}}$ 重写成 $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ 。

${(e^{\frac{x^{2}}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.2.1

将 ${(e^{\frac{x^{2}}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$e^{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.2.1

约去公因数。

$e^{\frac{x^{2}}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2.2

重写表达式。

$e^{x^{2}} = 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{x^{2}} = 0$

解题步骤 1.4.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.3.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x^{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 1.4.3.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 1.4.3.3

$e^{x^{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 1.5

定义域为全体实数。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

集合符号：

${x | x \in ℝ}$

解题步骤 2

因为定义域是全体实数，所以 $\frac{1}{\sqrt{e^{x^{2}}}} - 1$ 在所有实数上连续。

连续

解题步骤 3

三角学 示例

三角学示例