三角学示例

$\frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) + 1 - (\csc^{2} (x)))}{\cot (x)}$

解题步骤 1

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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解题步骤 1.1

将 $\frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) + 1 - (\csc^{2} (x)))}{\cot (x)}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\cot (x) = 0$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (0)$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.1

$arccot (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4

化简 $π + \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

解题步骤 1.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.4.3.1

将 $2$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

解题步骤 1.2.4.3.2

将 $2 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.5

求 $\cot (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 1.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.2.6

$\cot (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.7

合并答案。

$x = \frac{π}{2} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

将 $\cot (x)$ 的自变量设为等于 $π n$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

集合符号：

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ ，对于任意整数 $n$

集合符号：

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

因为定义域不是全体实数，所以 $\frac{(\cot (x) + 1) (\cot (x) + 1 - (\csc^{2} (x)))}{\cot (x)}$ 不是在全体实数上连续。

不连续

解题步骤 3

三角学 示例

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